Theorem seqzvalt 6541

Description: Value of the arbitrary-based recursive sequence builder operation.

Hypotheses

Ref	Expression
seq0val.1	|- S e. V
seq0val.2	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
seqzvalt	|- ((M e. A /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ((<.M, S>. seq F)` N) = (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1))` N))

Proof of Theorem seqzvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq0val.1	. . . . 5 |- S e. V
2		seq0val.2	. . . . 5 |- F e. V
3	1, 2	seqzfval 6538	. . . 4 |- (M e. A -> (<.M, S>. seq F) = (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` {k e. ZZ | M <_ k}))
4	3	fveq1d 3732	. . 3 |- (M e. A -> ((<.M, S>. seq F)` N) = ((((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` {k e. ZZ | M <_ k})` N))
5	4	3ad2ant1 802	. 2 |- ((M e. A /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ((<.M, S>. seq F)` N) = ((((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` {k e. ZZ | M <_ k})` N))
6		3simpc 789	. . . 4 |- ((M e. A /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> (N e. ZZ /\ M <_ N))
7		breq2 2628	. . . . 5 |- (k = N -> (M <_ k <-> M <_ N))
8	7	elrab 1908	. . . 4 |- (N e. {k e. ZZ | M <_ k} <-> (N e. ZZ /\ M <_ N))
9	6, 8	sylibr 200	. . 3 |- ((M e. A /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> N e. {k e. ZZ | M <_ k})
10		fvres 3740	. . 3 |- (N e. {k e. ZZ | M <_ k} -> ((((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` {k e. ZZ | M <_ k})` N) = (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1))` N))
11	9, 10	syl 10	. 2 |- ((M e. A /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ((((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1)) |` {k e. ZZ | M <_ k})` N) = (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1))` N))
12	5, 11	eqtrd 1510	1 |- ((M e. A /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ((<.M, S>. seq F)` N) = (((S seq1 (F shift (1 - M))) shift (M - 1))` N))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  {crab 1651  Vcvv 1814  <.cop 2415   class class class wbr 2624   |` cres 3178  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  1c1 5247   - cmin 5304   <_ cle 5307  ZZcz 5310   seq1 cseq1 6308   shift cshi 6341   seq cseqz 6532

This theorem is referenced by:  seqzval2t 6554

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-seqz 6534

Copyright terms: Public domain