Theorem ser0cl1 6564

Description: The partial sums in an infinite 0-based series of complex terms are complex.

Hypothesis

Ref	Expression
ser0cl.1	|- F:NN0-->CC

Assertion

Ref	Expression
ser0cl1	|- (N e. NN0 -> (( + seq0 F)` N) e. CC)

Proof of Theorem ser0cl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3724	. . 3 |- (j = 0 -> (( + seq0 F)` j) = (( + seq0 F)` 0))
2	1	eleq1d 1540	. 2 |- (j = 0 -> ((( + seq0 F)` j) e. CC <-> (( + seq0 F)` 0) e. CC))
3		fveq2 3724	. . 3 |- (j = k -> (( + seq0 F)` j) = (( + seq0 F)` k))
4	3	eleq1d 1540	. 2 |- (j = k -> ((( + seq0 F)` j) e. CC <-> (( + seq0 F)` k) e. CC))
5		fveq2 3724	. . 3 |- (j = (k + 1) -> (( + seq0 F)` j) = (( + seq0 F)` (k + 1)))
6	5	eleq1d 1540	. 2 |- (j = (k + 1) -> ((( + seq0 F)` j) e. CC <-> (( + seq0 F)` (k + 1)) e. CC))
7		fveq2 3724	. . 3 |- (j = N -> (( + seq0 F)` j) = (( + seq0 F)` N))
8	7	eleq1d 1540	. 2 |- (j = N -> ((( + seq0 F)` j) e. CC <-> (( + seq0 F)` N) e. CC))
9		addex 5317	. . . 4 |- + e. V
10		ser0cl.1	. . . . 5 |- F:NN0-->CC
11		nn0ex 6105	. . . . 5 |- NN0 e. V
12		fex 3652	. . . . 5 |- ((F:NN0-->CC /\ NN0 e. V) -> F e. V)
13	10, 11, 12	mp2an 697	. . . 4 |- F e. V
14	9, 13	seq00 6550	. . 3 |- (( + seq0 F)` 0) = (F` 0)
15		0nn0 6113	. . . 4 |- 0 e. NN0
16	10	ffvelrni 3815	. . . 4 |- (0 e. NN0 -> (F` 0) e. CC)
17	15, 16	ax-mp 7	. . 3 |- (F` 0) e. CC
18	14, 17	eqeltr 1544	. 2 |- (( + seq0 F)` 0) e. CC
19	9, 13	seq0p1 6551	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> (( + seq0 F)` (k + 1)) = ((( + seq0 F)` k) + (F` (k + 1))))
20	19	adantr 389	. . . 4 |- ((k e. NN0 /\ (( + seq0 F)` k) e. CC) -> (( + seq0 F)` (k + 1)) = ((( + seq0 F)` k) + (F` (k + 1))))
21		axaddcl 5271	. . . . . 6 |- (((( + seq0 F)` k) e. CC /\ (F` (k + 1)) e. CC) -> ((( + seq0 F)` k) + (F` (k + 1))) e. CC)
22		peano2nn0 6124	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (k + 1) e. NN0)
23	10	ffvelrni 3815	. . . . . . 7 |- ((k + 1) e. NN0 -> (F` (k + 1)) e. CC)
24	22, 23	syl 10	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> (F` (k + 1)) e. CC)
25	21, 24	sylan2 451	. . . . 5 |- (((( + seq0 F)` k) e. CC /\ k e. NN0) -> ((( + seq0 F)` k) + (F` (k + 1))) e. CC)
26	25	ancoms 436	. . . 4 |- ((k e. NN0 /\ (( + seq0 F)` k) e. CC) -> ((( + seq0 F)` k) + (F` (k + 1))) e. CC)
27	20, 26	eqeltrd 1548	. . 3 |- ((k e. NN0 /\ (( + seq0 F)` k) e. CC) -> (( + seq0 F)` (k + 1)) e. CC)
28	27	ex 373	. 2 |- (k e. NN0 -> ((( + seq0 F)` k) e. CC -> (( + seq0 F)` (k + 1)) e. CC))
29	2, 4, 6, 8, 18, 28	nn0ind 6212	1 |- (N e. NN0 -> (( + seq0 F)` N) e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237  NN0cn0 5297   seq0 cseq0 6532

This theorem is referenced by:  ser0f 6565  geoser 7234  efcj 7336

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-seq0 6534

Copyright terms: Public domain