Theorem ser1addi 6704

Description: The sum of two infinite series.

Hypotheses

Ref	Expression
ser1add.1	|- F:NN-->CC
ser1add.2	|- G:NN-->CC
ser1add.3	|- H e. V
ser1add.4	|- ((k e. NN /\ k <_ N) -> (H` k) = ((F` k) + (G` k)))

Assertion

Ref	Expression
ser1addi	|- (N e. NN -> (( + seq1 H)` N) = ((( + seq1 F)` N) + (( + seq1 G)` N)))

Distinct variable groups:   k,F   k,G   k,H   k,N

Proof of Theorem ser1addi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 6074	. . . 4 |- (N e. NN -> N e. RR)
2		leid 5685	. . . 4 |- (N e. RR -> N <_ N)
3	1, 2	syl 10	. . 3 |- (N e. NN -> N <_ N)
4		breq1 2695	. . . . . 6 |- (j = 1 -> (j <_ N <-> 1 <_ N))
5	4	anbi2d 619	. . . . 5 |- (j = 1 -> ((N e. NN /\ j <_ N) <-> (N e. NN /\ 1 <_ N)))
6		fveq2 3835	. . . . . 6 |- (j = 1 -> (( + seq1 H)` j) = (( + seq1 H)` 1))
7		fveq2 3835	. . . . . . 7 |- (j = 1 -> (( + seq1 F)` j) = (( + seq1 F)` 1))
8		fveq2 3835	. . . . . . 7 |- (j = 1 -> (( + seq1 G)` j) = (( + seq1 G)` 1))
9	7, 8	opreq12d 4036	. . . . . 6 |- (j = 1 -> ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j)) = ((( + seq1 F)` 1) + (( + seq1 G)` 1)))
10	6, 9	eqeq12d 1532	. . . . 5 |- (j = 1 -> ((( + seq1 H)` j) = ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j)) <-> (( + seq1 H)` 1) = ((( + seq1 F)` 1) + (( + seq1 G)` 1))))
11	5, 10	imbi12d 629	. . . 4 |- (j = 1 -> (((N e. NN /\ j <_ N) -> (( + seq1 H)` j) = ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j))) <-> ((N e. NN /\ 1 <_ N) -> (( + seq1 H)` 1) = ((( + seq1 F)` 1) + (( + seq1 G)` 1)))))
12		breq1 2695	. . . . . 6 |- (j = m -> (j <_ N <-> m <_ N))
13	12	anbi2d 619	. . . . 5 |- (j = m -> ((N e. NN /\ j <_ N) <-> (N e. NN /\ m <_ N)))
14		fveq2 3835	. . . . . 6 |- (j = m -> (( + seq1 H)` j) = (( + seq1 H)` m))
15		fveq2 3835	. . . . . . 7 |- (j = m -> (( + seq1 F)` j) = (( + seq1 F)` m))
16		fveq2 3835	. . . . . . 7 |- (j = m -> (( + seq1 G)` j) = (( + seq1 G)` m))
17	15, 16	opreq12d 4036	. . . . . 6 |- (j = m -> ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j)) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m)))
18	14, 17	eqeq12d 1532	. . . . 5 |- (j = m -> ((( + seq1 H)` j) = ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j)) <-> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))))
19	13, 18	imbi12d 629	. . . 4 |- (j = m -> (((N e. NN /\ j <_ N) -> (( + seq1 H)` j) = ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j))) <-> ((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m)))))
20		breq1 2695	. . . . . 6 |- (j = (m + 1) -> (j <_ N <-> (m + 1) <_ N))
21	20	anbi2d 619	. . . . 5 |- (j = (m + 1) -> ((N e. NN /\ j <_ N) <-> (N e. NN /\ (m + 1) <_ N)))
22		fveq2 3835	. . . . . 6 |- (j = (m + 1) -> (( + seq1 H)` j) = (( + seq1 H)` (m + 1)))
23		fveq2 3835	. . . . . . 7 |- (j = (m + 1) -> (( + seq1 F)` j) = (( + seq1 F)` (m + 1)))
24		fveq2 3835	. . . . . . 7 |- (j = (m + 1) -> (( + seq1 G)` j) = (( + seq1 G)` (m + 1)))
25	23, 24	opreq12d 4036	. . . . . 6 |- (j = (m + 1) -> ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))))
26	22, 25	eqeq12d 1532	. . . . 5 |- (j = (m + 1) -> ((( + seq1 H)` j) = ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j)) <-> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1)))))
27	21, 26	imbi12d 629	. . . 4 |- (j = (m + 1) -> (((N e. NN /\ j <_ N) -> (( + seq1 H)` j) = ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j))) <-> ((N e. NN /\ (m + 1) <_ N) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))))))
28		breq1 2695	. . . . . 6 |- (j = N -> (j <_ N <-> N <_ N))
29	28	anbi2d 619	. . . . 5 |- (j = N -> ((N e. NN /\ j <_ N) <-> (N e. NN /\ N <_ N)))
30		fveq2 3835	. . . . . 6 |- (j = N -> (( + seq1 H)` j) = (( + seq1 H)` N))
31		fveq2 3835	. . . . . . 7 |- (j = N -> (( + seq1 F)` j) = (( + seq1 F)` N))
32		fveq2 3835	. . . . . . 7 |- (j = N -> (( + seq1 G)` j) = (( + seq1 G)` N))
33	31, 32	opreq12d 4036	. . . . . 6 |- (j = N -> ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j)) = ((( + seq1 F)` N) + (( + seq1 G)` N)))
34	30, 33	eqeq12d 1532	. . . . 5 |- (j = N -> ((( + seq1 H)` j) = ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j)) <-> (( + seq1 H)` N) = ((( + seq1 F)` N) + (( + seq1 G)` N))))
35	29, 34	imbi12d 629	. . . 4 |- (j = N -> (((N e. NN /\ j <_ N) -> (( + seq1 H)` j) = ((( + seq1 F)` j) + (( + seq1 G)` j))) <-> ((N e. NN /\ N <_ N) -> (( + seq1 H)` N) = ((( + seq1 F)` N) + (( + seq1 G)` N)))))
36		1nn 6079	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
37		breq1 2695	. . . . . . . . 9 |- (k = 1 -> (k <_ N <-> 1 <_ N))
38		fveq2 3835	. . . . . . . . . 10 |- (k = 1 -> (H` k) = (H` 1))
39		fveq2 3835	. . . . . . . . . . 11 |- (k = 1 -> (F` k) = (F` 1))
40		fveq2 3835	. . . . . . . . . . 11 |- (k = 1 -> (G` k) = (G` 1))
41	39, 40	opreq12d 4036	. . . . . . . . . 10 |- (k = 1 -> ((F` k) + (G` k)) = ((F` 1) + (G` 1)))
42	38, 41	eqeq12d 1532	. . . . . . . . 9 |- (k = 1 -> ((H` k) = ((F` k) + (G` k)) <-> (H` 1) = ((F` 1) + (G` 1))))
43	37, 42	imbi12d 629	. . . . . . . 8 |- (k = 1 -> ((k <_ N -> (H` k) = ((F` k) + (G` k))) <-> (1 <_ N -> (H` 1) = ((F` 1) + (G` 1)))))
44		ser1add.4	. . . . . . . . 9 |- ((k e. NN /\ k <_ N) -> (H` k) = ((F` k) + (G` k)))
45	44	ex 371	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> (k <_ N -> (H` k) = ((F` k) + (G` k))))
46	43, 45	vtoclga 1898	. . . . . . 7 |- (1 e. NN -> (1 <_ N -> (H` 1) = ((F` 1) + (G` 1))))
47	36, 46	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (1 <_ N -> (H` 1) = ((F` 1) + (G` 1)))
48		addex 5471	. . . . . . 7 |- + e. V
49		ser1add.3	. . . . . . 7 |- H e. V
50	48, 49	seq11 6682	. . . . . 6 |- (( + seq1 H)` 1) = (H` 1)
51		ser1add.1	. . . . . . . . 9 |- F:NN-->CC
52		nnex 6078	. . . . . . . . 9 |- NN e. V
53		fex 3759	. . . . . . . . 9 |- ((F:NN-->CC /\ NN e. V) -> F e. V)
54	51, 52, 53	mp2an 701	. . . . . . . 8 |- F e. V
55	48, 54	seq11 6682	. . . . . . 7 |- (( + seq1 F)` 1) = (F` 1)
56		ser1add.2	. . . . . . . . 9 |- G:NN-->CC
57		fex 3759	. . . . . . . . 9 |- ((G:NN-->CC /\ NN e. V) -> G e. V)
58	56, 52, 57	mp2an 701	. . . . . . . 8 |- G e. V
59	48, 58	seq11 6682	. . . . . . 7 |- (( + seq1 G)` 1) = (G` 1)
60	55, 59	opreq12i 4031	. . . . . 6 |- ((( + seq1 F)` 1) + (( + seq1 G)` 1)) = ((F` 1) + (G` 1))
61	47, 50, 60	3eqtr4g 1574	. . . . 5 |- (1 <_ N -> (( + seq1 H)` 1) = ((( + seq1 F)` 1) + (( + seq1 G)` 1)))
62	61	adantl 388	. . . 4 |- ((N e. NN /\ 1 <_ N) -> (( + seq1 H)` 1) = ((( + seq1 F)` 1) + (( + seq1 G)` 1)))
63		lep1 5952	. . . . . . . . . . . 12 |- (m e. RR -> m <_ (m + 1))
64	63	adantr 389	. . . . . . . . . . 11 |- ((m e. RR /\ N e. RR) -> m <_ (m + 1))
65		letr 5679	. . . . . . . . . . . 12 |- ((m e. RR /\ (m + 1) e. RR /\ N e. RR) -> ((m <_ (m + 1) /\ (m + 1) <_ N) -> m <_ N))
66		pm3.26 317	. . . . . . . . . . . 12 |- ((m e. RR /\ N e. RR) -> m e. RR)
67		peano2re 5590	. . . . . . . . . . . . 13 |- (m e. RR -> (m + 1) e. RR)
68	67	adantr 389	. . . . . . . . . . . 12 |- ((m e. RR /\ N e. RR) -> (m + 1) e. RR)
69		pm3.27 321	. . . . . . . . . . . 12 |- ((m e. RR /\ N e. RR) -> N e. RR)
70	65, 66, 68, 69	syl3anc 864	. . . . . . . . . . 11 |- ((m e. RR /\ N e. RR) -> ((m <_ (m + 1) /\ (m + 1) <_ N) -> m <_ N))
71	64, 70	mpand 705	. . . . . . . . . 10 |- ((m e. RR /\ N e. RR) -> ((m + 1) <_ N -> m <_ N))
72		nnre 6074	. . . . . . . . . 10 |- (m e. NN -> m e. RR)
73	71, 72, 1	syl2an 456	. . . . . . . . 9 |- ((m e. NN /\ N e. NN) -> ((m + 1) <_ N -> m <_ N))
74	73	imp 348	. . . . . . . 8 |- (((m e. NN /\ N e. NN) /\ (m + 1) <_ N) -> m <_ N)
75		pm3.27 321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((m e. NN /\ (m + 1) <_ N) /\ (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m)))
76		breq1 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (k = (m + 1) -> (k <_ N <-> (m + 1) <_ N))
77		fveq2 3835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (k = (m + 1) -> (H` k) = (H` (m + 1)))
78		fveq2 3835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (k = (m + 1) -> (F` k) = (F` (m + 1)))
79		fveq2 3835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (k = (m + 1) -> (G` k) = (G` (m + 1)))
80	78, 79	opreq12d 4036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (k = (m + 1) -> ((F` k) + (G` k)) = ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1))))
81	77, 80	eqeq12d 1532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (k = (m + 1) -> ((H` k) = ((F` k) + (G` k)) <-> (H` (m + 1)) = ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1)))))
82	76, 81	imbi12d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (k = (m + 1) -> ((k <_ N -> (H` k) = ((F` k) + (G` k))) <-> ((m + 1) <_ N -> (H` (m + 1)) = ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1))))))
83	82, 45	vtoclga 1898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((m + 1) e. NN -> ((m + 1) <_ N -> (H` (m + 1)) = ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1)))))
84	83	imp 348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((m + 1) e. NN /\ (m + 1) <_ N) -> (H` (m + 1)) = ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1))))
85		peano2nn 6080	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (m e. NN -> (m + 1) e. NN)
86	84, 85	sylan 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((m e. NN /\ (m + 1) <_ N) -> (H` (m + 1)) = ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1))))
87	86	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((m e. NN /\ (m + 1) <_ N) /\ (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (H` (m + 1)) = ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1))))
88	75, 87	opreq12d 4036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((m e. NN /\ (m + 1) <_ N) /\ (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> ((( + seq1 H)` m) + (H` (m + 1))) = (((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m)) + ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1)))))
89	48, 49	seq1p1 6683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (m e. NN -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 H)` m) + (H` (m + 1))))
90	89	ad2antrr 404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((m e. NN /\ (m + 1) <_ N) /\ (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 H)` m) + (H` (m + 1))))
91	48, 54	seq1p1 6683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (m e. NN -> (( + seq1 F)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` m) + (F` (m + 1))))
92	48, 58	seq1p1 6683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (m e. NN -> (( + seq1 G)` (m + 1)) = ((( + seq1 G)` m) + (G` (m + 1))))
93	91, 92	opreq12d 4036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (m e. NN -> ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))) = (((( + seq1 F)` m) + (F` (m + 1))) + ((( + seq1 G)` m) + (G` (m + 1)))))
94		add4 5492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((( + seq1 F)` m) e. CC /\ (F` (m + 1)) e. CC) /\ ((( + seq1 G)` m) e. CC /\ (G` (m + 1)) e. CC)) -> (((( + seq1 F)` m) + (F` (m + 1))) + ((( + seq1 G)` m) + (G` (m + 1)))) = (((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m)) + ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1)))))
95	51	ser1cl1i 6695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (m e. NN -> (( + seq1 F)` m) e. CC)
96	51	ffvelrni 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((m + 1) e. NN -> (F` (m + 1)) e. CC)
97	85, 96	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (m e. NN -> (F` (m + 1)) e. CC)
98	56	ser1cl1i 6695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (m e. NN -> (( + seq1 G)` m) e. CC)
99	56	ffvelrni 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((m + 1) e. NN -> (G` (m + 1)) e. CC)
100	85, 99	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (m e. NN -> (G` (m + 1)) e. CC)
101	94, 95, 97, 98, 100	syl2anc 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (m e. NN -> (((( + seq1 F)` m) + (F` (m + 1))) + ((( + seq1 G)` m) + (G` (m + 1)))) = (((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m)) + ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1)))))
102	93, 101	eqtrd 1550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (m e. NN -> ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))) = (((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m)) + ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1)))))
103	102	ad2antrr 404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((m e. NN /\ (m + 1) <_ N) /\ (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))) = (((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m)) + ((F` (m + 1)) + (G` (m + 1)))))
104	88, 90, 103	3eqtr4d 1560	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((m e. NN /\ (m + 1) <_ N) /\ (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))))
105	104	ex 371	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((m e. NN /\ (m + 1) <_ N) -> ((( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m)) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1)))))
106	105	imim2d 25	. . . . . . . . . . . 12 |- ((m e. NN /\ (m + 1) <_ N) -> (((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> ((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))))))
107	106	com23 32	. . . . . . . . . . 11 |- ((m e. NN /\ (m + 1) <_ N) -> ((N e. NN /\ m <_ N) -> (((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))))))
108	107	imp 348	. . . . . . . . . 10 |- (((m e. NN /\ (m + 1) <_ N) /\ (N e. NN /\ m <_ N)) -> (((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1)))))
109	108	an4s 511	. . . . . . . . 9 |- (((m e. NN /\ N e. NN) /\ ((m + 1) <_ N /\ m <_ N)) -> (((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1)))))
110	109	anassrs 443	. . . . . . . 8 |- ((((m e. NN /\ N e. NN) /\ (m + 1) <_ N) /\ m <_ N) -> (((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1)))))
111	74, 110	mpdan 708	. . . . . . 7 |- (((m e. NN /\ N e. NN) /\ (m + 1) <_ N) -> (((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1)))))
112	111	exp31 376	. . . . . 6 |- (m e. NN -> (N e. NN -> ((m + 1) <_ N -> (((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1)))))))
113	112	imp3a 359	. . . . 5 |- (m e. NN -> ((N e. NN /\ (m + 1) <_ N) -> (((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))))))
114	113	com23 32	. . . 4 |- (m e. NN -> (((N e. NN /\ m <_ N) -> (( + seq1 H)` m) = ((( + seq1 F)` m) + (( + seq1 G)` m))) -> ((N e. NN /\ (m + 1) <_ N) -> (( + seq1 H)` (m + 1)) = ((( + seq1 F)` (m + 1)) + (( + seq1 G)` (m + 1))))))
115	11, 19, 27, 35, 62, 114	nnind 6082	. . 3 |- (N e. NN -> ((N e. NN /\ N <_ N) -> (( + seq1 H)` N) = ((( + seq1 F)` N) + (( + seq1 G)` N))))
116	3, 115	mpan2d 706	. 2 |- (N e. NN -> (N e. NN -> (( + seq1 H)` N) = ((( + seq1 F)` N) + (( + seq1 G)` N))))
117	116	pm2.43i 64	1 |- (N e. NN -> (( + seq1 H)` N) = ((( + seq1 F)` N) + (( + seq1 G)` N)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  Vcvv 1857   class class class wbr 2692  -->wf 3259  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  CCcc 5386  RRcr 5387  1c1 5389   + caddc 5391   <_ cle 5449  NNcn 5450   seq1 cseq1 6672

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-n 6070  df-n0 6268  df-z 6304  df-seq1 6673

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