Theorem ser1cmp2i 7380

Description: Comparison of partial sums of two infinite series of reals that excludes an initial segment.

Hypotheses

Ref	Expression
ser1cmp2.1	|- F:NN-->RR
ser1cmp2.2	|- G:NN-->RR
ser1cmp2.3	|- (x e. NN -> 0 <_ (F` x))
ser1cmp2.4	|- ((x e. NN /\ B < x) -> (G` x) <_ (F` x))
ser1cmp2.5	|- S = sup(ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}), RR, < )

Assertion

Ref	Expression
ser1cmp2i	|- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (( + seq1 G)` A) <_ (S + (( + seq1 F)` A)))

Distinct variable groups:   x,y,B   x,F   x,G

Proof of Theorem ser1cmp2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3835	. . . . 5 |- (z = 1 -> (( + seq1 G)` z) = (( + seq1 G)` 1))
2		fveq2 3835	. . . . . 6 |- (z = 1 -> (( + seq1 F)` z) = (( + seq1 F)` 1))
3	2	opreq2d 4034	. . . . 5 |- (z = 1 -> (S + (( + seq1 F)` z)) = (S + (( + seq1 F)` 1)))
4	1, 3	breq12d 2704	. . . 4 |- (z = 1 -> ((( + seq1 G)` z) <_ (S + (( + seq1 F)` z)) <-> (( + seq1 G)` 1) <_ (S + (( + seq1 F)` 1))))
5	4	imbi2d 615	. . 3 |- (z = 1 -> ((B e. NN -> (( + seq1 G)` z) <_ (S + (( + seq1 F)` z))) <-> (B e. NN -> (( + seq1 G)` 1) <_ (S + (( + seq1 F)` 1)))))
6		fveq2 3835	. . . . 5 |- (z = w -> (( + seq1 G)` z) = (( + seq1 G)` w))
7		fveq2 3835	. . . . . 6 |- (z = w -> (( + seq1 F)` z) = (( + seq1 F)` w))
8	7	opreq2d 4034	. . . . 5 |- (z = w -> (S + (( + seq1 F)` z)) = (S + (( + seq1 F)` w)))
9	6, 8	breq12d 2704	. . . 4 |- (z = w -> ((( + seq1 G)` z) <_ (S + (( + seq1 F)` z)) <-> (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))))
10	9	imbi2d 615	. . 3 |- (z = w -> ((B e. NN -> (( + seq1 G)` z) <_ (S + (( + seq1 F)` z))) <-> (B e. NN -> (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w)))))
11		fveq2 3835	. . . . 5 |- (z = (w + 1) -> (( + seq1 G)` z) = (( + seq1 G)` (w + 1)))
12		fveq2 3835	. . . . . 6 |- (z = (w + 1) -> (( + seq1 F)` z) = (( + seq1 F)` (w + 1)))
13	12	opreq2d 4034	. . . . 5 |- (z = (w + 1) -> (S + (( + seq1 F)` z)) = (S + (( + seq1 F)` (w + 1))))
14	11, 13	breq12d 2704	. . . 4 |- (z = (w + 1) -> ((( + seq1 G)` z) <_ (S + (( + seq1 F)` z)) <-> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1)))))
15	14	imbi2d 615	. . 3 |- (z = (w + 1) -> ((B e. NN -> (( + seq1 G)` z) <_ (S + (( + seq1 F)` z))) <-> (B e. NN -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1))))))
16		fveq2 3835	. . . . 5 |- (z = A -> (( + seq1 G)` z) = (( + seq1 G)` A))
17		fveq2 3835	. . . . . 6 |- (z = A -> (( + seq1 F)` z) = (( + seq1 F)` A))
18	17	opreq2d 4034	. . . . 5 |- (z = A -> (S + (( + seq1 F)` z)) = (S + (( + seq1 F)` A)))
19	16, 18	breq12d 2704	. . . 4 |- (z = A -> ((( + seq1 G)` z) <_ (S + (( + seq1 F)` z)) <-> (( + seq1 G)` A) <_ (S + (( + seq1 F)` A))))
20	19	imbi2d 615	. . 3 |- (z = A -> ((B e. NN -> (( + seq1 G)` z) <_ (S + (( + seq1 F)` z))) <-> (B e. NN -> (( + seq1 G)` A) <_ (S + (( + seq1 F)` A)))))
21		nnge1 6088	. . . 4 |- (B e. NN -> 1 <_ B)
22		1nn 6079	. . . . 5 |- 1 e. NN
23		ser1cmp2.1	. . . . . 6 |- F:NN-->RR
24		ser1cmp2.2	. . . . . 6 |- G:NN-->RR
25		ser1cmp2.3	. . . . . 6 |- (x e. NN -> 0 <_ (F` x))
26		ser1cmp2.4	. . . . . 6 |- ((x e. NN /\ B < x) -> (G` x) <_ (F` x))
27		ser1cmp2.5	. . . . . 6 |- S = sup(ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}), RR, < )
28	23, 24, 25, 26, 27	ser1cmp2lem 7379	. . . . 5 |- ((1 e. NN /\ B e. NN) -> (1 <_ B -> (( + seq1 G)` 1) <_ (S + (( + seq1 F)` 1))))
29	22, 28	mpan 699	. . . 4 |- (B e. NN -> (1 <_ B -> (( + seq1 G)` 1) <_ (S + (( + seq1 F)` 1))))
30	21, 29	mpd 26	. . 3 |- (B e. NN -> (( + seq1 G)` 1) <_ (S + (( + seq1 F)` 1)))
31		lelttric 5776	. . . . . . 7 |- (((w + 1) e. RR /\ B e. RR) -> ((w + 1) <_ B \/ B < (w + 1)))
32		peano2nn 6080	. . . . . . . 8 |- (w e. NN -> (w + 1) e. NN)
33		nnre 6074	. . . . . . . 8 |- ((w + 1) e. NN -> (w + 1) e. RR)
34	32, 33	syl 10	. . . . . . 7 |- (w e. NN -> (w + 1) e. RR)
35		nnre 6074	. . . . . . 7 |- (B e. NN -> B e. RR)
36	31, 34, 35	syl2an 456	. . . . . 6 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> ((w + 1) <_ B \/ B < (w + 1)))
37	23, 24, 25, 26, 27	ser1cmp2lem 7379	. . . . . . . . 9 |- (((w + 1) e. NN /\ B e. NN) -> ((w + 1) <_ B -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1)))))
38	37, 32	sylan 450	. . . . . . . 8 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> ((w + 1) <_ B -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1)))))
39	38	a1dd 42	. . . . . . 7 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> ((w + 1) <_ B -> ((( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w)) -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1))))))
40		readdcl 5456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((( + seq1 G)` w) e. RR /\ (G` (w + 1)) e. RR) -> ((( + seq1 G)` w) + (G` (w + 1))) e. RR)
41	24	ser1recli 6696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. NN -> (( + seq1 G)` w) e. RR)
42	24	ffvelrni 3929	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w + 1) e. NN -> (G` (w + 1)) e. RR)
43	32, 42	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. NN -> (G` (w + 1)) e. RR)
44	40, 41, 43	sylanc 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. NN -> ((( + seq1 G)` w) + (G` (w + 1))) e. RR)
45	44	ad2antrr 404	. . . . . . . . . . . 12 |- (((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) /\ (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> ((( + seq1 G)` w) + (G` (w + 1))) e. RR)
46		readdcl 5456	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((S + (( + seq1 F)` w)) e. RR /\ (G` (w + 1)) e. RR) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))) e. RR)
47		readdcl 5456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((S e. RR /\ (( + seq1 F)` w) e. RR) -> (S + (( + seq1 F)` w)) e. RR)
48	24	ser1refi 6697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( + seq1 G):NN-->RR
49	48	seq1ublem 7114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (B e. NN -> (ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}) (_ RR /\ ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}) =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B})w <_ z))
50		suprcl 6223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}) (_ RR /\ ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}) =/= (/) /\ E.z e. RR A.w e. ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B})w <_ z) -> sup(ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}), RR, < ) e. RR)
51	49, 50	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (B e. NN -> sup(ran (( + seq1 G) |` {y e. NN | y <_ B}), RR, < ) e. RR)
52	51, 27	syl5eqel 1595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (B e. NN -> S e. RR)
53	23	ser1recli 6696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w e. NN -> (( + seq1 F)` w) e. RR)
54	47, 52, 53	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((B e. NN /\ w e. NN) -> (S + (( + seq1 F)` w)) e. RR)
55	54	ancoms 438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> (S + (( + seq1 F)` w)) e. RR)
56	43	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> (G` (w + 1)) e. RR)
57	46, 55, 56	sylanc 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))) e. RR)
58	57	adantrr 395	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))) e. RR)
59	58	adantr 389	. . . . . . . . . . . 12 |- (((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) /\ (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))) e. RR)
60		readdcl 5456	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((S + (( + seq1 F)` w)) e. RR /\ (F` (w + 1)) e. RR) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))) e. RR)
61	23	ffvelrni 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((w + 1) e. NN -> (F` (w + 1)) e. RR)
62	32, 61	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w e. NN -> (F` (w + 1)) e. RR)
63	62	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> (F` (w + 1)) e. RR)
64	60, 55, 63	sylanc 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))) e. RR)
65	64	adantrr 395	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))) e. RR)
66	65	adantr 389	. . . . . . . . . . . 12 |- (((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) /\ (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))) e. RR)
67		leadd1 5779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((( + seq1 G)` w) e. RR /\ (S + (( + seq1 F)` w)) e. RR /\ (G` (w + 1)) e. RR) -> ((( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w)) <-> ((( + seq1 G)` w) + (G` (w + 1))) <_ ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1)))))
68	41	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> (( + seq1 G)` w) e. RR)
69	67, 68, 55, 56	syl3anc 864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> ((( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w)) <-> ((( + seq1 G)` w) + (G` (w + 1))) <_ ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1)))))
70	69	biimpa 416	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((w e. NN /\ B e. NN) /\ (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> ((( + seq1 G)` w) + (G` (w + 1))) <_ ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))))
71	70	adantlrr 399	. . . . . . . . . . . 12 |- (((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) /\ (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> ((( + seq1 G)` w) + (G` (w + 1))) <_ ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))))
72		breq2 2696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x = (w + 1) -> (B < x <-> B < (w + 1)))
73		fveq2 3835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (x = (w + 1) -> (G` x) = (G` (w + 1)))
74		fveq2 3835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (x = (w + 1) -> (F` x) = (F` (w + 1)))
75	73, 74	breq12d 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x = (w + 1) -> ((G` x) <_ (F` x) <-> (G` (w + 1)) <_ (F` (w + 1))))
76	72, 75	imbi12d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = (w + 1) -> ((B < x -> (G` x) <_ (F` x)) <-> (B < (w + 1) -> (G` (w + 1)) <_ (F` (w + 1)))))
77	26	ex 371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x e. NN -> (B < x -> (G` x) <_ (F` x)))
78	76, 77	vtoclga 1898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((w + 1) e. NN -> (B < (w + 1) -> (G` (w + 1)) <_ (F` (w + 1))))
79	78	imp 348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((w + 1) e. NN /\ B < (w + 1)) -> (G` (w + 1)) <_ (F` (w + 1)))
80	79, 32	sylan 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w e. NN /\ B < (w + 1)) -> (G` (w + 1)) <_ (F` (w + 1)))
81	80	adantrl 394	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) -> (G` (w + 1)) <_ (F` (w + 1)))
82		leadd2 5780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((G` (w + 1)) e. RR /\ (F` (w + 1)) e. RR /\ (S + (( + seq1 F)` w)) e. RR) -> ((G` (w + 1)) <_ (F` (w + 1)) <-> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))) <_ ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1)))))
83	82, 56, 63, 55	syl3anc 864	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> ((G` (w + 1)) <_ (F` (w + 1)) <-> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))) <_ ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1)))))
84	83	adantrr 395	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) -> ((G` (w + 1)) <_ (F` (w + 1)) <-> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))) <_ ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1)))))
85	81, 84	mpbid 193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))) <_ ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))))
86	85	adantr 389	. . . . . . . . . . . 12 |- (((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) /\ (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (G` (w + 1))) <_ ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))))
87	45, 59, 66, 71, 86	letrd 5680	. . . . . . . . . . 11 |- (((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) /\ (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> ((( + seq1 G)` w) + (G` (w + 1))) <_ ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))))
88		addex 5471	. . . . . . . . . . . . 13 |- + e. V
89		nnex 6078	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN e. V
90		fex 3759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((G:NN-->RR /\ NN e. V) -> G e. V)
91	24, 89, 90	mp2an 701	. . . . . . . . . . . . 13 |- G e. V
92	88, 91	seq1p1 6683	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. NN -> (( + seq1 G)` (w + 1)) = ((( + seq1 G)` w) + (G` (w + 1))))
93	92	ad2antrr 404	. . . . . . . . . . 11 |- (((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) /\ (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> (( + seq1 G)` (w + 1)) = ((( + seq1 G)` w) + (G` (w + 1))))
94		fex 3759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((F:NN-->RR /\ NN e. V) -> F e. V)
95	23, 89, 94	mp2an 701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F e. V
96	88, 95	seq1p1 6683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w e. NN -> (( + seq1 F)` (w + 1)) = ((( + seq1 F)` w) + (F` (w + 1))))
97	96	opreq2d 4034	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w e. NN -> (S + (( + seq1 F)` (w + 1))) = (S + ((( + seq1 F)` w) + (F` (w + 1)))))
98	97	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> (S + (( + seq1 F)` (w + 1))) = (S + ((( + seq1 F)` w) + (F` (w + 1)))))
99		addass 5461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((S e. CC /\ (( + seq1 F)` w) e. CC /\ (F` (w + 1)) e. CC) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))) = (S + ((( + seq1 F)` w) + (F` (w + 1)))))
100	52	recnd 5469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (B e. NN -> S e. CC)
101	100	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> S e. CC)
102	53	recnd 5469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w e. NN -> (( + seq1 F)` w) e. CC)
103	102	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> (( + seq1 F)` w) e. CC)
104	62	recnd 5469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w e. NN -> (F` (w + 1)) e. CC)
105	104	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> (F` (w + 1)) e. CC)
106	99, 101, 103, 105	syl3anc 864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))) = (S + ((( + seq1 F)` w) + (F` (w + 1)))))
107	98, 106	eqtr4d 1553	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> (S + (( + seq1 F)` (w + 1))) = ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))))
108	107	adantrr 395	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) -> (S + (( + seq1 F)` (w + 1))) = ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))))
109	108	adantr 389	. . . . . . . . . . 11 |- (((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) /\ (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> (S + (( + seq1 F)` (w + 1))) = ((S + (( + seq1 F)` w)) + (F` (w + 1))))
110	87, 93, 109	3brtr4d 2718	. . . . . . . . . 10 |- (((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) /\ (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1))))
111	110	ex 371	. . . . . . . . 9 |- ((w e. NN /\ (B e. NN /\ B < (w + 1))) -> ((( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w)) -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1)))))
112	111	anassrs 443	. . . . . . . 8 |- (((w e. NN /\ B e. NN) /\ B < (w + 1)) -> ((( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w)) -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1)))))
113	112	ex 371	. . . . . . 7 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> (B < (w + 1) -> ((( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w)) -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1))))))
114	39, 113	jaod 424	. . . . . 6 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> (((w + 1) <_ B \/ B < (w + 1)) -> ((( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w)) -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1))))))
115	36, 114	mpd 26	. . . . 5 |- ((w e. NN /\ B e. NN) -> ((( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w)) -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1)))))
116	115	ex 371	. . . 4 |- (w e. NN -> (B e. NN -> ((( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w)) -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1))))))
117	116	a2d 13	. . 3 |- (w e. NN -> ((B e. NN -> (( + seq1 G)` w) <_ (S + (( + seq1 F)` w))) -> (B e. NN -> (( + seq1 G)` (w + 1)) <_ (S + (( + seq1 F)` (w + 1))))))
118	5, 10, 15, 20, 30, 117	nnind 6082	. 2 |- (A e. NN -> (B e. NN -> (( + seq1 G)` A) <_ (S + (( + seq1 F)` A))))
119	118	imp 348	1 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (( + seq1 G)` A) <_ (S + (( + seq1 F)` A)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   \/ wo 220   /\ wa 221   /\ w3a 781   = wceq 992   e. wcel 994   =/= wne 1628  A.wral 1691  E.wrex 1692  {crab 1694  Vcvv 1857   (_ wss 2099  (/)c0 2332   class class class wbr 2692  ran crn 3252   |` cres 3253  -->wf 3259  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  supcsup 4716  CCcc 5386  RRcr 5387  0cc0 5388  1c1 5389   + caddc 5391   <_ cle 5449  NNcn 5450   < clt 5640   seq1 cseq1 6672

This theorem is referenced by:  cvgcmp2lem 7383

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-sup 4717  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855  df-n 6070  df-2 6116  df-n0 6268  df-z 6304  df-seq1 6673  df-exp 6764  df-sqr 6871  df-re 6952  df-im 6953  df-cj 6954  df-abs 6955

Copyright terms: Public domain