Theorem ser1cmpi 7377

Description: Comparison of partial sums of two infinite series of reals.

Hypotheses

Ref	Expression
ser1cmp.1	|- F:NN-->RR
ser1cmp.2	|- G:NN-->RR
ser1cmp.3	|- (x e. NN -> (G` x) <_ (F` x))

Assertion

Ref	Expression
ser1cmpi	|- (A e. NN -> (( + seq1 G)` A) <_ (( + seq1 F)` A))

Distinct variable groups:   x,F   x,G

Proof of Theorem ser1cmpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3835	. . 3 |- (y = 1 -> (( + seq1 G)` y) = (( + seq1 G)` 1))
2		fveq2 3835	. . 3 |- (y = 1 -> (( + seq1 F)` y) = (( + seq1 F)` 1))
3	1, 2	breq12d 2704	. 2 |- (y = 1 -> ((( + seq1 G)` y) <_ (( + seq1 F)` y) <-> (( + seq1 G)` 1) <_ (( + seq1 F)` 1)))
4		fveq2 3835	. . 3 |- (y = z -> (( + seq1 G)` y) = (( + seq1 G)` z))
5		fveq2 3835	. . 3 |- (y = z -> (( + seq1 F)` y) = (( + seq1 F)` z))
6	4, 5	breq12d 2704	. 2 |- (y = z -> ((( + seq1 G)` y) <_ (( + seq1 F)` y) <-> (( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z)))
7		fveq2 3835	. . 3 |- (y = (z + 1) -> (( + seq1 G)` y) = (( + seq1 G)` (z + 1)))
8		fveq2 3835	. . 3 |- (y = (z + 1) -> (( + seq1 F)` y) = (( + seq1 F)` (z + 1)))
9	7, 8	breq12d 2704	. 2 |- (y = (z + 1) -> ((( + seq1 G)` y) <_ (( + seq1 F)` y) <-> (( + seq1 G)` (z + 1)) <_ (( + seq1 F)` (z + 1))))
10		fveq2 3835	. . 3 |- (y = A -> (( + seq1 G)` y) = (( + seq1 G)` A))
11		fveq2 3835	. . 3 |- (y = A -> (( + seq1 F)` y) = (( + seq1 F)` A))
12	10, 11	breq12d 2704	. 2 |- (y = A -> ((( + seq1 G)` y) <_ (( + seq1 F)` y) <-> (( + seq1 G)` A) <_ (( + seq1 F)` A)))
13		1nn 6079	. . . 4 |- 1 e. NN
14		fveq2 3835	. . . . . 6 |- (x = 1 -> (G` x) = (G` 1))
15		fveq2 3835	. . . . . 6 |- (x = 1 -> (F` x) = (F` 1))
16	14, 15	breq12d 2704	. . . . 5 |- (x = 1 -> ((G` x) <_ (F` x) <-> (G` 1) <_ (F` 1)))
17		ser1cmp.3	. . . . 5 |- (x e. NN -> (G` x) <_ (F` x))
18	16, 17	vtoclga 1898	. . . 4 |- (1 e. NN -> (G` 1) <_ (F` 1))
19	13, 18	ax-mp 7	. . 3 |- (G` 1) <_ (F` 1)
20		addex 5471	. . . 4 |- + e. V
21		ser1cmp.2	. . . . 5 |- G:NN-->RR
22		nnex 6078	. . . . 5 |- NN e. V
23		fex 3759	. . . . 5 |- ((G:NN-->RR /\ NN e. V) -> G e. V)
24	21, 22, 23	mp2an 701	. . . 4 |- G e. V
25	20, 24	seq11 6682	. . 3 |- (( + seq1 G)` 1) = (G` 1)
26		ser1cmp.1	. . . . 5 |- F:NN-->RR
27		fex 3759	. . . . 5 |- ((F:NN-->RR /\ NN e. V) -> F e. V)
28	26, 22, 27	mp2an 701	. . . 4 |- F e. V
29	20, 28	seq11 6682	. . 3 |- (( + seq1 F)` 1) = (F` 1)
30	19, 25, 29	3brtr4i 2716	. 2 |- (( + seq1 G)` 1) <_ (( + seq1 F)` 1)
31		readdcl 5456	. . . . . . 7 |- (((( + seq1 G)` z) e. RR /\ (G` (z + 1)) e. RR) -> ((( + seq1 G)` z) + (G` (z + 1))) e. RR)
32	21	ser1recli 6696	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> (( + seq1 G)` z) e. RR)
33		peano2nn 6080	. . . . . . . 8 |- (z e. NN -> (z + 1) e. NN)
34	21	ffvelrni 3929	. . . . . . . 8 |- ((z + 1) e. NN -> (G` (z + 1)) e. RR)
35	33, 34	syl 10	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> (G` (z + 1)) e. RR)
36	31, 32, 35	sylanc 473	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((( + seq1 G)` z) + (G` (z + 1))) e. RR)
37	36	adantr 389	. . . . 5 |- ((z e. NN /\ (( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z)) -> ((( + seq1 G)` z) + (G` (z + 1))) e. RR)
38		readdcl 5456	. . . . . . 7 |- (((( + seq1 F)` z) e. RR /\ (G` (z + 1)) e. RR) -> ((( + seq1 F)` z) + (G` (z + 1))) e. RR)
39	26	ser1recli 6696	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> (( + seq1 F)` z) e. RR)
40	38, 39, 35	sylanc 473	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((( + seq1 F)` z) + (G` (z + 1))) e. RR)
41	40	adantr 389	. . . . 5 |- ((z e. NN /\ (( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z)) -> ((( + seq1 F)` z) + (G` (z + 1))) e. RR)
42		readdcl 5456	. . . . . . 7 |- (((( + seq1 F)` z) e. RR /\ (F` (z + 1)) e. RR) -> ((( + seq1 F)` z) + (F` (z + 1))) e. RR)
43	26	ffvelrni 3929	. . . . . . . 8 |- ((z + 1) e. NN -> (F` (z + 1)) e. RR)
44	33, 43	syl 10	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> (F` (z + 1)) e. RR)
45	42, 39, 44	sylanc 473	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((( + seq1 F)` z) + (F` (z + 1))) e. RR)
46	45	adantr 389	. . . . 5 |- ((z e. NN /\ (( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z)) -> ((( + seq1 F)` z) + (F` (z + 1))) e. RR)
47		leadd1 5779	. . . . . . 7 |- (((( + seq1 G)` z) e. RR /\ (( + seq1 F)` z) e. RR /\ (G` (z + 1)) e. RR) -> ((( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z) <-> ((( + seq1 G)` z) + (G` (z + 1))) <_ ((( + seq1 F)` z) + (G` (z + 1)))))
48	47, 32, 39, 35	syl3anc 864	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z) <-> ((( + seq1 G)` z) + (G` (z + 1))) <_ ((( + seq1 F)` z) + (G` (z + 1)))))
49	48	biimpa 416	. . . . 5 |- ((z e. NN /\ (( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z)) -> ((( + seq1 G)` z) + (G` (z + 1))) <_ ((( + seq1 F)` z) + (G` (z + 1))))
50		fveq2 3835	. . . . . . . . . 10 |- (x = (z + 1) -> (G` x) = (G` (z + 1)))
51		fveq2 3835	. . . . . . . . . 10 |- (x = (z + 1) -> (F` x) = (F` (z + 1)))
52	50, 51	breq12d 2704	. . . . . . . . 9 |- (x = (z + 1) -> ((G` x) <_ (F` x) <-> (G` (z + 1)) <_ (F` (z + 1))))
53	52, 17	vtoclga 1898	. . . . . . . 8 |- ((z + 1) e. NN -> (G` (z + 1)) <_ (F` (z + 1)))
54	33, 53	syl 10	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> (G` (z + 1)) <_ (F` (z + 1)))
55		leadd2 5780	. . . . . . . 8 |- (((G` (z + 1)) e. RR /\ (F` (z + 1)) e. RR /\ (( + seq1 F)` z) e. RR) -> ((G` (z + 1)) <_ (F` (z + 1)) <-> ((( + seq1 F)` z) + (G` (z + 1))) <_ ((( + seq1 F)` z) + (F` (z + 1)))))
56	55, 35, 44, 39	syl3anc 864	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> ((G` (z + 1)) <_ (F` (z + 1)) <-> ((( + seq1 F)` z) + (G` (z + 1))) <_ ((( + seq1 F)` z) + (F` (z + 1)))))
57	54, 56	mpbid 193	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((( + seq1 F)` z) + (G` (z + 1))) <_ ((( + seq1 F)` z) + (F` (z + 1))))
58	57	adantr 389	. . . . 5 |- ((z e. NN /\ (( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z)) -> ((( + seq1 F)` z) + (G` (z + 1))) <_ ((( + seq1 F)` z) + (F` (z + 1))))
59	37, 41, 46, 49, 58	letrd 5680	. . . 4 |- ((z e. NN /\ (( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z)) -> ((( + seq1 G)` z) + (G` (z + 1))) <_ ((( + seq1 F)` z) + (F` (z + 1))))
60	20, 24	seq1p1 6683	. . . . 5 |- (z e. NN -> (( + seq1 G)` (z + 1)) = ((( + seq1 G)` z) + (G` (z + 1))))
61	60	adantr 389	. . . 4 |- ((z e. NN /\ (( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z)) -> (( + seq1 G)` (z + 1)) = ((( + seq1 G)` z) + (G` (z + 1))))
62	20, 28	seq1p1 6683	. . . . 5 |- (z e. NN -> (( + seq1 F)` (z + 1)) = ((( + seq1 F)` z) + (F` (z + 1))))
63	62	adantr 389	. . . 4 |- ((z e. NN /\ (( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z)) -> (( + seq1 F)` (z + 1)) = ((( + seq1 F)` z) + (F` (z + 1))))
64	59, 61, 63	3brtr4d 2718	. . 3 |- ((z e. NN /\ (( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z)) -> (( + seq1 G)` (z + 1)) <_ (( + seq1 F)` (z + 1)))
65	64	ex 371	. 2 |- (z e. NN -> ((( + seq1 G)` z) <_ (( + seq1 F)` z) -> (( + seq1 G)` (z + 1)) <_ (( + seq1 F)` (z + 1))))
66	3, 6, 9, 12, 30, 65	nnind 6082	1 |- (A e. NN -> (( + seq1 G)` A) <_ (( + seq1 F)` A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  Vcvv 1857   class class class wbr 2692  -->wf 3259  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  RRcr 5387  1c1 5389   + caddc 5391   <_ cle 5449  NNcn 5450   seq1 cseq1 6672

This theorem is referenced by:  ser1cmp0i 7378  cvgcmpubi 7389

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-n 6070  df-n0 6268  df-z 6304  df-seq1 6673

Copyright terms: Public domain