Theorem ser1recl 6276

Description: The partial sums in an infinite series of real terms are real.

Hypothesis

Ref	Expression
ser1recl.1	|- F:NN-->RR

Assertion

Ref	Expression
ser1recl	|- (A e. NN -> (( + seq1 F)` A) e. RR)

Proof of Theorem ser1recl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3715	. . 3 |- (x = 1 -> (( + seq1 F)` x) = (( + seq1 F)` 1))
2	1	eleq1d 1537	. 2 |- (x = 1 -> ((( + seq1 F)` x) e. RR <-> (( + seq1 F)` 1) e. RR))
3		fveq2 3715	. . 3 |- (x = y -> (( + seq1 F)` x) = (( + seq1 F)` y))
4	3	eleq1d 1537	. 2 |- (x = y -> ((( + seq1 F)` x) e. RR <-> (( + seq1 F)` y) e. RR))
5		fveq2 3715	. . 3 |- (x = (y + 1) -> (( + seq1 F)` x) = (( + seq1 F)` (y + 1)))
6	5	eleq1d 1537	. 2 |- (x = (y + 1) -> ((( + seq1 F)` x) e. RR <-> (( + seq1 F)` (y + 1)) e. RR))
7		fveq2 3715	. . 3 |- (x = A -> (( + seq1 F)` x) = (( + seq1 F)` A))
8	7	eleq1d 1537	. 2 |- (x = A -> ((( + seq1 F)` x) e. RR <-> (( + seq1 F)` A) e. RR))
9		addex 5297	. . . 4 |- + e. V
10		ser1recl.1	. . . . 5 |- F:NN-->RR
11		nnex 5889	. . . . 5 |- NN e. V
12		fex 3643	. . . . 5 |- ((F:NN-->RR /\ NN e. V) -> F e. V)
13	10, 11, 12	mp2an 696	. . . 4 |- F e. V
14	9, 13	seq11 6262	. . 3 |- (( + seq1 F)` 1) = (F` 1)
15		1nn 5890	. . . 4 |- 1 e. NN
16		ffvelrn 3805	. . . 4 |- ((F:NN-->RR /\ 1 e. NN) -> (F` 1) e. RR)
17	10, 15, 16	mp2an 696	. . 3 |- (F` 1) e. RR
18	14, 17	eqeltr 1541	. 2 |- (( + seq1 F)` 1) e. RR
19		axaddrcl 5252	. . . . 5 |- (((( + seq1 F)` y) e. RR /\ (F` (y + 1)) e. RR) -> ((( + seq1 F)` y) + (F` (y + 1))) e. RR)
20		peano2nn 5891	. . . . . 6 |- (y e. NN -> (y + 1) e. NN)
21	10	ffvelrni 3806	. . . . . 6 |- ((y + 1) e. NN -> (F` (y + 1)) e. RR)
22	20, 21	syl 10	. . . . 5 |- (y e. NN -> (F` (y + 1)) e. RR)
23	19, 22	sylan2 451	. . . 4 |- (((( + seq1 F)` y) e. RR /\ y e. NN) -> ((( + seq1 F)` y) + (F` (y + 1))) e. RR)
24	9, 13	seq1p1 6263	. . . . . 6 |- (y e. NN -> (( + seq1 F)` (y + 1)) = ((( + seq1 F)` y) + (F` (y + 1))))
25	24	eleq1d 1537	. . . . 5 |- (y e. NN -> ((( + seq1 F)` (y + 1)) e. RR <-> ((( + seq1 F)` y) + (F` (y + 1))) e. RR))
26	25	adantl 388	. . . 4 |- (((( + seq1 F)` y) e. RR /\ y e. NN) -> ((( + seq1 F)` (y + 1)) e. RR <-> ((( + seq1 F)` y) + (F` (y + 1))) e. RR))
27	23, 26	mpbird 196	. . 3 |- (((( + seq1 F)` y) e. RR /\ y e. NN) -> (( + seq1 F)` (y + 1)) e. RR)
28	27	expcom 374	. 2 |- (y e. NN -> ((( + seq1 F)` y) e. RR -> (( + seq1 F)` (y + 1)) e. RR))
29	2, 4, 6, 8, 18, 28	nnind 5893	1 |- (A e. NN -> (( + seq1 F)` A) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  RRcr 5213  1c1 5215   + caddc 5217  NNcn 5276   seq1 cseq1 6252

This theorem is referenced by:  ser1ref 6277  ser1mono 6282  ser1absdiflem 6874  ser1cmp 7118  ser1cmp2lem 7120  ser1cmp2 7121  cvgcmp2lem 7124  cvgcmpub 7129  cvgcmp3c 7130

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253

Copyright terms: Public domain