Theorem ser1ser0 6986

Description: A 1-based infinite series in terms of a 0-based infinite series.

Hypotheses

Ref	Expression
ser1ser0.1	|- F e. V
ser1ser0.2	|- (k e. NN0 -> (F` k) e. CC)

Assertion

Ref	Expression
ser1ser0	|- (N e. NN -> (( + seq1 F)` N) = ((( + seq0 F)` N) - (F` 0)))

Distinct variable groups:   k,F   k,N

Proof of Theorem ser1ser0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsum0split 6959	. . . . 5 |- ((N e. ZZ /\ N e. (1...N) /\ A.k e. (0...N)(F` k) e. CC) -> sum_k e. (0...N)(F` k) = (sum_k e. (0...(N - N))(F` k) + sum_k e. (((N - N) + 1)...N)(F` k)))
2		nnzt 6100	. . . . 5 |- (N e. NN -> N e. ZZ)
3		elnnuz 6372	. . . . . 6 |- (N e. NN <-> N e. (ZZ>` 1))
4		eluzfz2t 6421	. . . . . 6 |- (N e. (ZZ>` 1) -> N e. (1...N))
5	3, 4	sylbi 199	. . . . 5 |- (N e. NN -> N e. (1...N))
6		elfznn0t 6428	. . . . . . . 8 |- (k e. (0...N) -> k e. NN0)
7		ser1ser0.2	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (F` k) e. CC)
8	6, 7	syl 10	. . . . . . 7 |- (k e. (0...N) -> (F` k) e. CC)
9	8	rgen 1690	. . . . . 6 |- A.k e. (0...N)(F` k) e. CC
10	9	a1i 8	. . . . 5 |- (N e. NN -> A.k e. (0...N)(F` k) e. CC)
11	1, 2, 5, 10	syl3anc 856	. . . 4 |- (N e. NN -> sum_k e. (0...N)(F` k) = (sum_k e. (0...(N - N))(F` k) + sum_k e. (((N - N) + 1)...N)(F` k)))
12		nnnn0t 6053	. . . . 5 |- (N e. NN -> N e. NN0)
13		ser1ser0.1	. . . . . 6 |- F e. V
14		ax-17 968	. . . . . 6 |- (x e. F -> A.k x e. F)
15	13, 14	fsumser0f 6939	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> sum_k e. (0...N)(F` k) = (( + seq0 F)` N))
16	12, 15	syl 10	. . . 4 |- (N e. NN -> sum_k e. (0...N)(F` k) = (( + seq0 F)` N))
17		nncnt 5878	. . . . . . . . . 10 |- (N e. NN -> N e. CC)
18		subidt 5367	. . . . . . . . . 10 |- (N e. CC -> (N - N) = 0)
19	17, 18	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> (N - N) = 0)
20	19	opreq2d 3961	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> (0...(N - N)) = (0...0))
21	20	sumeq1d 6928	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> sum_k e. (0...(N - N))(F` k) = sum_k e. (0...0)(F` k))
22		0nn0 6060	. . . . . . . 8 |- 0 e. NN0
23	13, 14	fsumser0f 6939	. . . . . . . 8 |- (0 e. NN0 -> sum_k e. (0...0)(F` k) = (( + seq0 F)` 0))
24	22, 23	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- sum_k e. (0...0)(F` k) = (( + seq0 F)` 0)
25	21, 24	syl6eq 1515	. . . . . 6 |- (N e. NN -> sum_k e. (0...(N - N))(F` k) = (( + seq0 F)` 0))
26		addex 5289	. . . . . . 7 |- + e. V
27	26, 13	seq00 6482	. . . . . 6 |- (( + seq0 F)` 0) = (F` 0)
28	25, 27	syl6eq 1515	. . . . 5 |- (N e. NN -> sum_k e. (0...(N - N))(F` k) = (F` 0))
29	19	opreq1d 3960	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> ((N - N) + 1) = (0 + 1))
30		ax1cn 5241	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
31	30	addid2 5303	. . . . . . . . 9 |- (0 + 1) = 1
32	29, 31	syl6eq 1515	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> ((N - N) + 1) = 1)
33	32	opreq1d 3960	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> (((N - N) + 1)...N) = (1...N))
34	33	sumeq1d 6928	. . . . . 6 |- (N e. NN -> sum_k e. (((N - N) + 1)...N)(F` k) = sum_k e. (1...N)(F` k))
35	13, 14	fsumser1f 6940	. . . . . 6 |- (N e. NN -> sum_k e. (1...N)(F` k) = (( + seq1 F)` N))
36	34, 35	eqtrd 1499	. . . . 5 |- (N e. NN -> sum_k e. (((N - N) + 1)...N)(F` k) = (( + seq1 F)` N))
37	28, 36	opreq12d 3963	. . . 4 |- (N e. NN -> (sum_k e. (0...(N - N))(F` k) + sum_k e. (((N - N) + 1)...N)(F` k)) = ((F` 0) + (( + seq1 F)` N)))
38	11, 16, 37	3eqtr3rd 1508	. . 3 |- (N e. NN -> ((F` 0) + (( + seq1 F)` N)) = (( + seq0 F)` N))
39		subaddt 5347	. . . 4 |- (((( + seq0 F)` N) e. CC /\ (F` 0) e. CC /\ (( + seq1 F)` N) e. CC) -> (((( + seq0 F)` N) - (F` 0)) = (( + seq1 F)` N) <-> ((F` 0) + (( + seq1 F)` N)) = (( + seq0 F)` N)))
40	13	ser0clt 6984	. . . . . 6 |- ((N e. NN0 /\ A.k e. (0...N)(F` k) e. CC) -> (( + seq0 F)` N) e. CC)
41	9, 40	mpan2 694	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> (( + seq0 F)` N) e. CC)
42	12, 41	syl 10	. . . 4 |- (N e. NN -> (( + seq0 F)` N) e. CC)
43		fveq2 3709	. . . . . . . 8 |- (k = 0 -> (F` k) = (F` 0))
44	43	eleq1d 1532	. . . . . . 7 |- (k = 0 -> ((F` k) e. CC <-> (F` 0) e. CC))
45	44, 7	vtoclga 1843	. . . . . 6 |- (0 e. NN0 -> (F` 0) e. CC)
46	22, 45	ax-mp 7	. . . . 5 |- (F` 0) e. CC
47	46	a1i 8	. . . 4 |- (N e. NN -> (F` 0) e. CC)
48		elfznnt 6426	. . . . . . 7 |- (k e. (1...N) -> k e. NN)
49		nnnn0t 6053	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> k e. NN0)
50	48, 49, 7	3syl 20	. . . . . 6 |- (k e. (1...N) -> (F` k) e. CC)
51	50	rgen 1690	. . . . 5 |- A.k e. (1...N)(F` k) e. CC
52	13	ser1clt 6985	. . . . 5 |- ((N e. NN /\ A.k e. (1...N)(F` k) e. CC) -> (( + seq1 F)` N) e. CC)
53	51, 52	mpan2 694	. . . 4 |- (N e. NN -> (( + seq1 F)` N) e. CC)
54	39, 42, 47, 53	syl3anc 856	. . 3 |- (N e. NN -> (((( + seq0 F)` N) - (F` 0)) = (( + seq1 F)` N) <-> ((F` 0) + (( + seq1 F)` N)) = (( + seq0 F)` N)))
55	38, 54	mpbird 196	. 2 |- (N e. NN -> ((( + seq0 F)` N) - (F` 0)) = (( + seq1 F)` N))
56	55	eqcomd 1472	1 |- (N e. NN -> (( + seq1 F)` N) = ((( + seq0 F)` N) - (F` 0)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  Vcvv 1802  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   - cmin 5264  NNcn 5268  NN0cn0 5269  ZZcz 5270   seq1 cseq1 6244  ZZ>cuz 6349  ...cfz 6399   seq0 cseq0 6464  sum_csu 6917

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-seq0 6466  df-sum 6918

Copyright terms: Public domain