Theorem serzclim0 7109

Description: The zero series converges to zero. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
serzclim0	|- (M e. ZZ -> (<.M, + >. seq ((ZZ>` M) X. {0})) ~~> 0)

Proof of Theorem serzclim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 5328	. . . 4 |- 0 e. CC
2	1	elisseti 1818	. . 3 |- 0 e. V
3		fconstopab 3210	. . 3 |- ((ZZ>` M) X. {0}) = {<.k, y>. | (k e. (ZZ>` M) /\ y = 0)}
4		fconstopab 3210	. . . 4 |- ((ZZ>` M) X. {0}) = {<.n, z>. | (n e. (ZZ>` M) /\ z = 0)}
5		fsum0 7039	. . . . . . 7 |- (n e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...n)0 = 0)
6	5	eqeq2d 1486	. . . . . 6 |- (n e. (ZZ>` M) -> (z = sum_k e. (M...n)0 <-> z = 0))
7	6	pm5.32i 645	. . . . 5 |- ((n e. (ZZ>` M) /\ z = sum_k e. (M...n)0) <-> (n e. (ZZ>` M) /\ z = 0))
8	7	opabbii 2671	. . . 4 |- {<.n, z>. | (n e. (ZZ>` M) /\ z = sum_k e. (M...n)0)} = {<.n, z>. | (n e. (ZZ>` M) /\ z = 0)}
9	4, 8	eqtr4 1498	. . 3 |- ((ZZ>` M) X. {0}) = {<.n, z>. | (n e. (ZZ>` M) /\ z = sum_k e. (M...n)0)}
10	2, 3, 9	serzfsum 7004	. 2 |- (M e. ZZ -> (<.M, + >. seq ((ZZ>` M) X. {0})) = ((ZZ>` M) X. {0}))
11		fveq2 3724	. . . . 5 |- (M = if(M e. ZZ, M, 0) -> (ZZ>` M) = (ZZ>` if(M e. ZZ, M, 0)))
12		xpeq1 3200	. . . . 5 |- ((ZZ>` M) = (ZZ>` if(M e. ZZ, M, 0)) -> ((ZZ>` M) X. {0}) = ((ZZ>` if(M e. ZZ, M, 0)) X. {0}))
13	11, 12	syl 10	. . . 4 |- (M = if(M e. ZZ, M, 0) -> ((ZZ>` M) X. {0}) = ((ZZ>` if(M e. ZZ, M, 0)) X. {0}))
14	13	breq1d 2629	. . 3 |- (M = if(M e. ZZ, M, 0) -> (((ZZ>` M) X. {0}) ~~> 0 <-> ((ZZ>` if(M e. ZZ, M, 0)) X. {0}) ~~> 0))
15		0z 6146	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
16	15	elimel 2394	. . . 4 |- if(M e. ZZ, M, 0) e. ZZ
17	16	climuz0 7108	. . 3 |- ((ZZ>` if(M e. ZZ, M, 0)) X. {0}) ~~> 0
18	14, 17	dedth 2383	. 2 |- (M e. ZZ -> ((ZZ>` M) X. {0}) ~~> 0)
19	10, 18	eqbrtrd 2635	1 |- (M e. ZZ -> (<.M, + >. seq ((ZZ>` M) X. {0})) ~~> 0)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  ifcif 2361  {csn 2409  <.cop 2411   class class class wbr 2619  {copab 2666   X. cxp 3168  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234   + caddc 5237  ZZcz 5298  ZZ>cuz 6417  ...cfz 6467   seq cseqz 6531   ~~> cli 6974  sum_csu 6979

This theorem is referenced by:  iserzcmp0 7143

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975  df-sum 6980

Copyright terms: Public domain