Theorem serzfsum 6942

Description: An infinite series in terms of finite partial sums of A(k).

Hypotheses

Ref	Expression
serzfsum.1	|- A e. V
serzfsum.2	|- F = {<.k, y>. | (k e. (ZZ>` M) /\ y = A)}
serzfsum.3	|- G = {<.n, z>. | (n e. (ZZ>` M) /\ z = sum_k e. (M...n)A)}

Assertion

Ref	Expression
serzfsum	|- (M e. ZZ -> (<.M, + >. seq F) = G)

Distinct variable groups:   y,A   z,n,F   k,n,y,z,M

Proof of Theorem serzfsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addex 5289	. . . 4 |- + e. V
2		fvex 3717	. . . . 5 |- (ZZ>` M) e. V
3		serzfsum.2	. . . . 5 |- F = {<.k, y>. | (k e. (ZZ>` M) /\ y = A)}
4	2, 3	fopabex2 3598	. . . 4 |- F e. V
5	1, 4	seqzfn 6471	. . 3 |- (M e. ZZ -> (<.M, + >. seq F) Fn (ZZ>` M))
6		fnopabfv 3743	. . 3 |- ((<.M, + >. seq F) Fn (ZZ>` M) <-> (<.M, + >. seq F) = {<.n, z>. | (n e. (ZZ>` M) /\ z = ((<.M, + >. seq F)` n))})
7	5, 6	sylib 198	. 2 |- (M e. ZZ -> (<.M, + >. seq F) = {<.n, z>. | (n e. (ZZ>` M) /\ z = ((<.M, + >. seq F)` n))})
8		serzfsum.3	. . 3 |- G = {<.n, z>. | (n e. (ZZ>` M) /\ z = sum_k e. (M...n)A)}
9		elfzuzt 6420	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. (M...n) -> k e. (ZZ>` M))
10		serzfsum.1	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. V
11		fvopab2 3776	. . . . . . . . . . . 12 |- ((k e. (ZZ>` M) /\ A e. V) -> ({<.k, y>. | (k e. (ZZ>` M) /\ y = A)}` k) = A)
12	10, 11	mpan2 694	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. (ZZ>` M) -> ({<.k, y>. | (k e. (ZZ>` M) /\ y = A)}` k) = A)
13	9, 12	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (k e. (M...n) -> ({<.k, y>. | (k e. (ZZ>` M) /\ y = A)}` k) = A)
14	13	adantl 388	. . . . . . . . 9 |- ((n e. (ZZ>` M) /\ k e. (M...n)) -> ({<.k, y>. | (k e. (ZZ>` M) /\ y = A)}` k) = A)
15	3	fveq1i 3710	. . . . . . . . 9 |- (F` k) = ({<.k, y>. | (k e. (ZZ>` M) /\ y = A)}` k)
16	14, 15	syl5eq 1511	. . . . . . . 8 |- ((n e. (ZZ>` M) /\ k e. (M...n)) -> (F` k) = A)
17	16	sumeq2dv 6930	. . . . . . 7 |- (n e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...n)(F` k) = sum_k e. (M...n)A)
18		hbopab1 2802	. . . . . . . . 9 |- (x e. {<.k, y>. | (k e. (ZZ>` M) /\ y = A)} -> A.k x e. {<.k, y>. | (k e. (ZZ>` M) /\ y = A)})
19	3, 18	hbxfr 1555	. . . . . . . 8 |- (x e. F -> A.k x e. F)
20	4, 19	fsumserzf 6938	. . . . . . 7 |- (n e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...n)(F` k) = ((<.M, + >. seq F)` n))
21	17, 20	eqtr3d 1501	. . . . . 6 |- (n e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...n)A = ((<.M, + >. seq F)` n))
22	21	eqeq2d 1478	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>` M) -> (z = sum_k e. (M...n)A <-> z = ((<.M, + >. seq F)` n)))
23	22	pm5.32i 643	. . . 4 |- ((n e. (ZZ>` M) /\ z = sum_k e. (M...n)A) <-> (n e. (ZZ>` M) /\ z = ((<.M, + >. seq F)` n)))
24	23	opabbii 2661	. . 3 |- {<.n, z>. | (n e. (ZZ>` M) /\ z = sum_k e. (M...n)A)} = {<.n, z>. | (n e. (ZZ>` M) /\ z = ((<.M, + >. seq F)` n))}
25	8, 24	eqtr 1487	. 2 |- G = {<.n, z>. | (n e. (ZZ>` M) /\ z = ((<.M, + >. seq F)` n))}
26	7, 25	syl6eqr 1517	1 |- (M e. ZZ -> (<.M, + >. seq F) = G)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802  <.cop 2401  {copab 2656   Fn wfn 3167  ` cfv 3172  (class class class)co 3948   + caddc 5209  ZZcz 5270  ZZ>cuz 6349  ...cfz 6399   seq cseqz 6463  sum_csu 6917

This theorem is referenced by:  serzclim0 7046  isumclim5t 7137  efcvgfsum 7257

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-sum 6918

Copyright terms: Public domain