Theorem serzmulc1 6995

Description: A constant C times a series.

Hypotheses

Ref	Expression
serzmulc1.1	|- F e. V
serzmulc1.2	|- G e. V

Assertion

Ref	Expression
serzmulc1	|- ((N e. (ZZ>` M) /\ C e. CC /\ A.k e. (M...N)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C x. (F` k)))) -> (C x. ((<.M, + >. seq F)` N)) = ((<.M, + >. seq G)` N))

Distinct variable groups:   C,k   k,F   k,G   k,M   k,N

Proof of Theorem serzmulc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.27 323	. . . . . 6 |- (((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C x. (F` k))) -> (G` k) = (C x. (F` k)))
2	1	r19.20si 1698	. . . . 5 |- (A.k e. (M...N)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C x. (F` k))) -> A.k e. (M...N)(G` k) = (C x. (F` k)))
3	2	sumeq2d 6929	. . . 4 |- (A.k e. (M...N)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C x. (F` k))) -> sum_k e. (M...N)(G` k) = sum_k e. (M...N)(C x. (F` k)))
4	3	3ad2ant3 800	. . 3 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ C e. CC /\ A.k e. (M...N)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C x. (F` k)))) -> sum_k e. (M...N)(G` k) = sum_k e. (M...N)(C x. (F` k)))
5		fsummulc1 6971	. . . 4 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ C e. CC /\ A.k e. (M...N)(F` k) e. CC) -> (C x. sum_k e. (M...N)(F` k)) = sum_k e. (M...N)(C x. (F` k)))
6		pm3.26 319	. . . . 5 |- (((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C x. (F` k))) -> (F` k) e. CC)
7	6	r19.20si 1698	. . . 4 |- (A.k e. (M...N)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C x. (F` k))) -> A.k e. (M...N)(F` k) e. CC)
8	5, 7	syl3an3 859	. . 3 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ C e. CC /\ A.k e. (M...N)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C x. (F` k)))) -> (C x. sum_k e. (M...N)(F` k)) = sum_k e. (M...N)(C x. (F` k)))
9	4, 8	eqtr4d 1502	. 2 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ C e. CC /\ A.k e. (M...N)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C x. (F` k)))) -> sum_k e. (M...N)(G` k) = (C x. sum_k e. (M...N)(F` k)))
10		serzmulc1.2	. . . 4 |- G e. V
11	10	fsumserz 6937	. . 3 |- (N e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...N)(G` k) = ((<.M, + >. seq G)` N))
12	11	3ad2ant1 798	. 2 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ C e. CC /\ A.k e. (M...N)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C x. (F` k)))) -> sum_k e. (M...N)(G` k) = ((<.M, + >. seq G)` N))
13		serzmulc1.1	. . . . 5 |- F e. V
14	13	fsumserz 6937	. . . 4 |- (N e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...N)(F` k) = ((<.M, + >. seq F)` N))
15	14	opreq2d 3961	. . 3 |- (N e. (ZZ>` M) -> (C x. sum_k e. (M...N)(F` k)) = (C x. ((<.M, + >. seq F)` N)))
16	15	3ad2ant1 798	. 2 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ C e. CC /\ A.k e. (M...N)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C x. (F` k)))) -> (C x. sum_k e. (M...N)(F` k)) = (C x. ((<.M, + >. seq F)` N)))
17	9, 12, 16	3eqtr3rd 1508	1 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ C e. CC /\ A.k e. (M...N)((F` k) e. CC /\ (G` k) = (C x. (F` k)))) -> (C x. ((<.M, + >. seq F)` N)) = ((<.M, + >. seq G)` N))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  Vcvv 1802  <.cop 2401  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204   + caddc 5209   x. cmul 5211  ZZ>cuz 6349  ...cfz 6399   seq cseqz 6463  sum_csu 6917

This theorem is referenced by:  serzmulc 6996  iserzmulc1 7072  isummulc1ALT 7148

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-sum 6918

Copyright terms: Public domain