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Theorem setcepi 13922
Description: An epimorphism of sets is a surjection. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
setcmon.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
setcmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
setcmon.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
setcepi.h  |-  E  =  (Epi `  C )
setcepi.2  |-  ( ph  ->  2o  e.  U )
Assertion
Ref Expression
setcepi  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
F : X -onto-> Y
) )

Proof of Theorem setcepi
Dummy variables  x  g  a  h  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2285 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2 eqid 2285 . . . . . 6  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
3 eqid 2285 . . . . . 6  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
4 setcepi.h . . . . . 6  |-  E  =  (Epi `  C )
5 setcmon.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
6 setcmon.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( SetCat `  U )
76setccat 13919 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  Cat )
85, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
9 setcmon.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
106, 5setcbas 13912 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =  ( Base `  C ) )
119, 10eleqtrd 2361 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  C ) )
12 setcmon.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
1312, 10eleqtrd 2361 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  C ) )
141, 2, 3, 4, 8, 11, 13epihom 13647 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X E Y )  C_  ( X
(  Hom  `  C ) Y ) )
1514sselda 3182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F  e.  ( X (  Hom  `  C
) Y ) )
166, 5, 2, 9, 12elsetchom 13915 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X (  Hom  `  C
) Y )  <->  F : X
--> Y ) )
1716biimpa 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X (  Hom  `  C
) Y ) )  ->  F : X --> Y )
1815, 17syldan 456 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F : X
--> Y )
19 frn 5397 . . . . 5  |-  ( F : X --> Y  ->  ran  F  C_  Y )
2018, 19syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ran  F  C_  Y )
21 ffn 5391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
2218, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F  Fn  X )
23 fnfvelrn 5664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  X  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x
)  e.  ran  F
)
2422, 23sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ran  F )
25 iftrue 3573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  e.  ran  F  ->  if ( ( F `  x )  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  /\  x  e.  X )  ->  if ( ( F `  x )  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o )
2726mpteq2dva 4108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( x  e.  X  |->  if ( ( F `  x
)  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( x  e.  X  |->  1o ) )
2818ffvelrnda 5667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  Y )
2918feqmptd 5577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F  =  ( x  e.  X  |->  ( F `  x
) ) )
30 eqidd 2286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) )
31 eleq1 2345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
a  e.  ran  F  <->  ( F `  x )  e.  ran  F ) )
3231ifbid 3585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  if (
( F `  x
)  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )
3328, 29, 30, 32fmptco 5693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  o.  F
)  =  ( x  e.  X  |->  if ( ( F `  x
)  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) )
34 fconstmpt 4734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  X.  { 1o }
)  =  ( a  e.  Y  |->  1o )
3534a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( Y  X.  { 1o } )  =  ( a  e.  Y  |->  1o ) )
36 eqidd 2286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  1o  =  1o )
3728, 29, 35, 36fmptco 5693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( ( Y  X.  { 1o }
)  o.  F )  =  ( x  e.  X  |->  1o ) )
3827, 33, 373eqtr4d 2327 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  o.  F
)  =  ( ( Y  X.  { 1o } )  o.  F
) )
395adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  U  e.  V )
409adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  X  e.  U )
4112adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  Y  e.  U )
42 setcepi.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2o  e.  U )
4342adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  2o  e.  U )
44 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )
45 1onn 6639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1o  e.  om
4645elexi 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1o  e.  _V
4746prid2 3737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
48 df2o3 6494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
4947, 48eleqtrri 2358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  e.  2o
50 0ex 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (/)  e.  _V
5150prid1 3736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
5251, 48eleqtrri 2358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (/)  e.  2o
5349, 52keepel 3624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  e.  2o
5453a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  Y  ->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
5544, 54fmpti 5685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) : Y --> 2o
5655a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) : Y --> 2o )
576, 39, 3, 40, 41, 43, 18, 56setcco 13917 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) 2o ) F )  =  ( ( a  e.  Y  |->  if ( a  e. 
ran  F ,  1o ,  (/) ) )  o.  F ) )
58 fconst6g 5432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o  e.  2o  ->  ( Y  X.  { 1o }
) : Y --> 2o )
5949, 58mp1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( Y  X.  { 1o } ) : Y --> 2o )
606, 39, 3, 40, 41, 43, 18, 59setcco 13917 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( ( Y  X.  { 1o }
) ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) 2o ) F )  =  ( ( Y  X.  { 1o } )  o.  F
) )
6138, 57, 603eqtr4d 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) 2o ) F )  =  ( ( Y  X.  { 1o } ) ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) 2o ) F ) )
628adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  C  e.  Cat )
6311adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  X  e.  ( Base `  C )
)
6413adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  Y  e.  ( Base `  C )
)
6542, 10eleqtrd 2361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2o  e.  ( Base `  C ) )
6665adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  2o  e.  ( Base `  C )
)
67 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F  e.  ( X E Y ) )
686, 39, 2, 41, 43elsetchom 13915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( Y (  Hom  `  C
) 2o )  <->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) ) : Y --> 2o ) )
6956, 68mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  e.  ( Y (  Hom  `  C ) 2o ) )
706, 39, 2, 41, 43elsetchom 13915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( ( Y  X.  { 1o }
)  e.  ( Y (  Hom  `  C
) 2o )  <->  ( Y  X.  { 1o } ) : Y --> 2o ) )
7159, 70mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( Y  X.  { 1o } )  e.  ( Y (  Hom  `  C ) 2o ) )
721, 2, 3, 4, 62, 63, 64, 66, 67, 69, 71epii 13648 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( (
( a  e.  Y  |->  if ( a  e. 
ran  F ,  1o ,  (/) ) ) (
<. X ,  Y >. (comp `  C ) 2o ) F )  =  ( ( Y  X.  { 1o } ) ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) 2o ) F )  <->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( Y  X.  { 1o } ) ) )
7361, 72mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( Y  X.  { 1o } ) )
7473, 34syl6eq 2333 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  Y  |->  1o ) )
7553rgenw 2612 . . . . . . . 8  |-  A. a  e.  Y  if (
a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  e.  2o
76 mpteqb 5616 . . . . . . . 8  |-  ( A. a  e.  Y  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  e.  2o  ->  ( ( a  e.  Y  |->  if ( a  e. 
ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  Y  |->  1o )  <->  A. a  e.  Y  if (
a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o ) )
7775, 76ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  Y  |->  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  Y  |->  1o )  <->  A. a  e.  Y  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o )
7874, 77sylib 188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  A. a  e.  Y  if (
a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o )
79 1n0 6496 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  =/=  (/)
8079necomi 2530 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  =/=  1o
81 df-ne 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  =/=  1o  <->  -.  (/)  =  1o )
8280, 81mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  -.  (/)  =  1o
83 iffalse 3574 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  a  e.  ran  F  ->  if ( a  e. 
ran  F ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
8483eqeq1d 2293 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  a  e.  ran  F  ->  ( if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o  <->  (/)  =  1o ) )
8582, 84mtbiri 294 . . . . . . . 8  |-  ( -.  a  e.  ran  F  ->  -.  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o )
8685con4i 122 . . . . . . 7  |-  ( if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o  ->  a  e.  ran  F )
8786ralimi 2620 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  Y  if ( a  e.  ran  F ,  1o ,  (/) )  =  1o  ->  A. a  e.  Y  a  e.  ran  F )
8878, 87syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  A. a  e.  Y  a  e.  ran  F )
89 dfss3 3172 . . . . 5  |-  ( Y 
C_  ran  F  <->  A. a  e.  Y  a  e.  ran  F )
9088, 89sylibr 203 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  Y  C_  ran  F )
9120, 90eqssd 3198 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  ran  F  =  Y )
92 dffo2 5457 . . 3  |-  ( F : X -onto-> Y  <->  ( F : X --> Y  /\  ran  F  =  Y ) )
9318, 91, 92sylanbrc 645 . 2  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X E Y ) )  ->  F : X -onto-> Y )
94 fof 5453 . . . . 5  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
9594adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F : X --> Y )
9616biimpar 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  F  e.  ( X (  Hom  `  C ) Y ) )
9795, 96syldan 456 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F  e.  ( X (  Hom  `  C ) Y ) )
9810adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  U  =  ( Base `  C
) )
9998eleq2d 2352 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
z  e.  U  <->  z  e.  ( Base `  C )
) )
1005ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  U  e.  V )
1019ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  X  e.  U )
10212ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  Y  e.  U )
103 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  z  e.  U )
10495adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  F : X
--> Y )
105 simprrl 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z ) )
1066, 100, 2, 102, 103elsetchom 13915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C ) z )  <-> 
g : Y --> z ) )
107105, 106mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  g : Y
--> z )
1086, 100, 3, 101, 102, 103, 104, 107setcco 13917 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( g
( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  =  ( g  o.  F ) )
109 simprrr 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z ) )
1106, 100, 2, 102, 103elsetchom 13915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( h  e.  ( Y (  Hom  `  C ) z )  <-> 
h : Y --> z ) )
111109, 110mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h : Y
--> z )
1126, 100, 3, 101, 102, 103, 104, 111setcco 13917 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( h
( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  =  ( h  o.  F ) )
113108, 112eqeq12d 2299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( (
g ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  <-> 
( g  o.  F
)  =  ( h  o.  F ) ) )
114 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  F : X -onto-> Y )
115 ffn 5391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : Y --> z  -> 
g  Fn  Y )
116107, 115syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  g  Fn  Y )
117 ffn 5391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h : Y --> z  ->  h  Fn  Y )
118111, 117syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h  Fn  Y )
119 cocan2 5804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  g  Fn  Y  /\  h  Fn  Y
)  ->  ( (
g  o.  F )  =  ( h  o.  F )  <->  g  =  h ) )
120114, 116, 118, 119syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( (
g  o.  F )  =  ( h  o.  F )  <->  g  =  h ) )
121120biimpd 198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( (
g  o.  F )  =  ( h  o.  F )  ->  g  =  h ) )
122113, 121sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  (
z  e.  U  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z )  /\  h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  ( (
g ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  ->  g  =  h ) )
123122anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  z  e.  U
)  /\  ( g  e.  ( Y (  Hom  `  C ) z )  /\  h  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z ) ) )  ->  ( (
g ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  ->  g  =  h ) )
124123ralrimivva 2637 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F : X -onto-> Y )  /\  z  e.  U )  ->  A. g  e.  ( Y (  Hom  `  C ) z ) A. h  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  ->  g  =  h ) )
125124ex 423 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
z  e.  U  ->  A. g  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z ) A. h  e.  ( Y
(  Hom  `  C ) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C )
z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
12699, 125sylbird 226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
z  e.  ( Base `  C )  ->  A. g  e.  ( Y (  Hom  `  C ) z ) A. h  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
127126ralrimiv 2627 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  A. z  e.  ( Base `  C
) A. g  e.  ( Y (  Hom  `  C ) z ) A. h  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  ->  g  =  h ) )
1281, 2, 3, 4, 8, 11, 13isepi2 13646 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X (  Hom  `  C
) Y )  /\  A. z  e.  ( Base `  C ) A. g  e.  ( Y (  Hom  `  C ) z ) A. h  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
129128adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <->  ( F  e.  ( X (  Hom  `  C ) Y )  /\  A. z  e.  ( Base `  C
) A. g  e.  ( Y (  Hom  `  C ) z ) A. h  e.  ( Y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <. X ,  Y >. (comp `  C ) z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >. (comp `  C
) z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
13097, 127, 129mpbir2and 888 . 2  |-  ( (
ph  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F  e.  ( X E Y ) )
13193, 130impbida 805 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
F : X -onto-> Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   A.wral 2545    C_ wss 3154   (/)c0 3457   ifcif 3567   {csn 3642   {cpr 3643   <.cop 3645    e. cmpt 4079   omcom 4658    X. cxp 4689   ran crn 4692    o. ccom 4695    Fn wfn 5252   -->wf 5253   -onto->wfo 5255   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   1oc1o 6474   2oc2o 6475   Basecbs 13150    Hom chom 13221  compcco 13222   Catccat 13568  Epicepi 13634   SetCatcsetc 13909
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-tpos 6236  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-fz 10785  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-hom 13234  df-cco 13235  df-cat 13572  df-cid 13573  df-oppc 13617  df-mon 13635  df-epi 13636  df-setc 13910
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