Theorem setind 4658

Description: Set (epsilon) induction. Theorem 5.22 of [TakeutiZaring] p. 21.

Assertion

Ref	Expression
setind	|- (A.x(x (_ A -> x e. A) -> A = V)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem setind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 2085	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> (x (_ A <-> y (_ A))
2		eleq1 1537	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> (x e. A <-> y e. A))
3	1, 2	imbi12d 628	. . . . . . . 8 |- (x = y -> ((x (_ A -> x e. A) <-> (y (_ A -> y e. A)))
4	3	a4v 1274	. . . . . . 7 |- (A.x(x (_ A -> x e. A) -> (y (_ A -> y e. A))
5		ssindif0 2326	. . . . . . 7 |- (y (_ A <-> (y i^i (V \ A)) = (/))
6	4, 5	syl5ibr 207	. . . . . 6 |- (A.x(x (_ A -> x e. A) -> ((y i^i (V \ A)) = (/) -> y e. A))
7		eldifn 2166	. . . . . 6 |- (y e. (V \ A) -> -. y e. A)
8	6, 7	nsyli 121	. . . . 5 |- (A.x(x (_ A -> x e. A) -> (y e. (V \ A) -> -. (y i^i (V \ A)) = (/)))
9	8	imp 350	. . . 4 |- ((A.x(x (_ A -> x e. A) /\ y e. (V \ A)) -> -. (y i^i (V \ A)) = (/))
10	9	nrexdv 1733	. . 3 |- (A.x(x (_ A -> x e. A) -> -. E.y e. (V \ A)(y i^i (V \ A)) = (/))
11		zfregs 4657	. . . 4 |- ((V \ A) =/= (/) -> E.y e. (V \ A)(y i^i (V \ A)) = (/))
12	11	necon1bi 1612	. . 3 |- (-. E.y e. (V \ A)(y i^i (V \ A)) = (/) -> (V \ A) = (/))
13	10, 12	syl 10	. 2 |- (A.x(x (_ A -> x e. A) -> (V \ A) = (/))
14		vdif0 2332	. 2 |- (A = V <-> (V \ A) = (/))
15	13, 14	sylibr 200	1 |- (A.x(x (_ A -> x e. A) -> A = V)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  E.wrex 1649  Vcvv 1814   \ cdif 2047   i^i cin 2049   (_ wss 2050  (/)c0 2283

This theorem is referenced by:  setind2 4659  tz9.13 4673

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-rdg 3938

Copyright terms: Public domain