MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setind Unicode version

Theorem setind 7419
Description: Set (epsilon) induction. Theorem 5.22 of [TakeutiZaring] p. 21. (Contributed by NM, 17-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
setind  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  A  =  _V )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem setind
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssindif0 3508 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  A  <->  ( y  i^i  ( _V  \  A
) )  =  (/) )
2 sseq1 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
3 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
42, 3imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  A  ->  x  e.  A )  <-> 
( y  C_  A  ->  y  e.  A ) ) )
54spv 1938 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  ( y  C_  A  ->  y  e.  A ) )
61, 5syl5bir 209 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  ( (
y  i^i  ( _V  \  A ) )  =  (/)  ->  y  e.  A
) )
7 eldifn 3299 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( _V  \  A )  ->  -.  y  e.  A )
86, 7nsyli 133 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( _V  \  A
)  ->  -.  (
y  i^i  ( _V  \  A ) )  =  (/) ) )
98imp 418 . . . 4  |-  ( ( A. x ( x 
C_  A  ->  x  e.  A )  /\  y  e.  ( _V  \  A
) )  ->  -.  ( y  i^i  ( _V  \  A ) )  =  (/) )
109nrexdv 2646 . . 3  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  -.  E. y  e.  ( _V  \  A
) ( y  i^i  ( _V  \  A
) )  =  (/) )
11 zfregs 7414 . . . 4  |-  ( ( _V  \  A )  =/=  (/)  ->  E. y  e.  ( _V  \  A
) ( y  i^i  ( _V  \  A
) )  =  (/) )
1211necon1bi 2489 . . 3  |-  ( -. 
E. y  e.  ( _V  \  A ) ( y  i^i  ( _V  \  A ) )  =  (/)  ->  ( _V 
\  A )  =  (/) )
1310, 12syl 15 . 2  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  ( _V  \  A )  =  (/) )
14 vdif0 3514 . 2  |-  ( A  =  _V  <->  ( _V  \  A )  =  (/) )
1513, 14sylibr 203 1  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  A  =  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455
This theorem is referenced by:  setind2  7420  tz9.13  7463  unir1  7485  setinds  24134
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423
  Copyright terms: Public domain W3C validator