MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setind Structured version   Unicode version

Theorem setind 7673
Description: Set (epsilon) induction. Theorem 5.22 of [TakeutiZaring] p. 21. (Contributed by NM, 17-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
setind  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  A  =  _V )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem setind
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssindif0 3681 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  A  <->  ( y  i^i  ( _V  \  A
) )  =  (/) )
2 sseq1 3369 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
3 eleq1 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
42, 3imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  A  ->  x  e.  A )  <-> 
( y  C_  A  ->  y  e.  A ) ) )
54spv 1965 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  ( y  C_  A  ->  y  e.  A ) )
61, 5syl5bir 210 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  ( (
y  i^i  ( _V  \  A ) )  =  (/)  ->  y  e.  A
) )
7 eldifn 3470 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( _V  \  A )  ->  -.  y  e.  A )
86, 7nsyli 135 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( _V  \  A
)  ->  -.  (
y  i^i  ( _V  \  A ) )  =  (/) ) )
98imp 419 . . . 4  |-  ( ( A. x ( x 
C_  A  ->  x  e.  A )  /\  y  e.  ( _V  \  A
) )  ->  -.  ( y  i^i  ( _V  \  A ) )  =  (/) )
109nrexdv 2809 . . 3  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  -.  E. y  e.  ( _V  \  A
) ( y  i^i  ( _V  \  A
) )  =  (/) )
11 zfregs 7668 . . . 4  |-  ( ( _V  \  A )  =/=  (/)  ->  E. y  e.  ( _V  \  A
) ( y  i^i  ( _V  \  A
) )  =  (/) )
1211necon1bi 2647 . . 3  |-  ( -. 
E. y  e.  ( _V  \  A ) ( y  i^i  ( _V  \  A ) )  =  (/)  ->  ( _V 
\  A )  =  (/) )
1310, 12syl 16 . 2  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  ( _V  \  A )  =  (/) )
14 vdif0 3687 . 2  |-  ( A  =  _V  <->  ( _V  \  A )  =  (/) )
1513, 14sylibr 204 1  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  A  =  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628
This theorem is referenced by:  setind2  7674  tz9.13  7717  unir1  7739  setinds  25405
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-reg 7560  ax-inf2 7596
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668
  Copyright terms: Public domain W3C validator