Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  setinds Unicode version

Theorem setinds 23503
Description: Principle of  _E induction (set induction). If a property passes from all elements of  x to  x itself, then it holds for all  x. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
setinds.1  |-  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  ->  ph )
Assertion
Ref Expression
setinds  |-  ph
Distinct variable groups:    ph, y    x, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem setinds
StepHypRef Expression
1 vex 2766 . 2  |-  x  e. 
_V
2 setind 7387 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  C_  { x  |  ph }  ->  z  e.  { x  |  ph } )  ->  { x  |  ph }  =  _V )
3 dfss3 3145 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  { x  | 
ph }  <->  A. y  e.  z  y  e.  { x  |  ph }
)
4 df-sbc 2967 . . . . . . . . 9  |-  ( [. y  /  x ]. ph  <->  y  e.  { x  |  ph }
)
54ralbii 2542 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph  <->  A. y  e.  z  y  e.  { x  |  ph }
)
6 nfcv 2394 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
z
7 nfsbc1v 2985 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [. y  /  x ]. ph
86, 7nfral 2571 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph
9 nfsbc1v 2985 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x [. z  /  x ]. ph
108, 9nfim 1735 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph )
11 raleq 2711 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  <->  A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph )
)
12 sbceq1a 2976 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<-> 
[. z  /  x ]. ph ) )
1311, 12imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  z 
[. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph ) ) )
14 setinds.1 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  ->  ph )
1510, 13, 14chvar 1879 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph )
165, 15sylbir 206 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  z  y  e.  { x  |  ph }  ->  [. z  /  x ]. ph )
173, 16sylbi 189 . . . . . 6  |-  ( z 
C_  { x  | 
ph }  ->  [. z  /  x ]. ph )
18 df-sbc 2967 . . . . . 6  |-  ( [. z  /  x ]. ph  <->  z  e.  { x  |  ph }
)
1917, 18sylib 190 . . . . 5  |-  ( z 
C_  { x  | 
ph }  ->  z  e.  { x  |  ph } )
202, 19mpg 1542 . . . 4  |-  { x  |  ph }  =  _V
2120eqcomi 2262 . . 3  |-  _V  =  { x  |  ph }
2221abeq2i 2365 . 2  |-  ( x  e.  _V  <->  ph )
231, 22mpbi 201 1  |-  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2244   A.wral 2518   _Vcvv 2763   [.wsbc 2966    C_ wss 3127
This theorem is referenced by:  setinds2f  23504
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-reg 7274  ax-inf2 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-recs 6356  df-rdg 6391
  Copyright terms: Public domain W3C validator