Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  setinds Unicode version

Theorem setinds 25384
Description: Principle of  _E induction (set induction). If a property passes from all elements of  x to  x itself, then it holds for all  x. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
setinds.1  |-  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  ->  ph )
Assertion
Ref Expression
setinds  |-  ph
Distinct variable groups:    ph, y    x, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem setinds
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2946 . 2  |-  x  e. 
_V
2 setind 7657 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  C_  { x  |  ph }  ->  z  e.  { x  |  ph } )  ->  { x  |  ph }  =  _V )
3 dfss3 3325 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  { x  | 
ph }  <->  A. y  e.  z  y  e.  { x  |  ph }
)
4 df-sbc 3149 . . . . . . . . 9  |-  ( [. y  /  x ]. ph  <->  y  e.  { x  |  ph }
)
54ralbii 2716 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph  <->  A. y  e.  z  y  e.  { x  |  ph }
)
6 nfcv 2566 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
z
7 nfsbc1v 3167 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [. y  /  x ]. ph
86, 7nfral 2746 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph
9 nfsbc1v 3167 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x [. z  /  x ]. ph
108, 9nfim 1832 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph )
11 raleq 2891 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  <->  A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph )
)
12 sbceq1a 3158 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<-> 
[. z  /  x ]. ph ) )
1311, 12imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  z 
[. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph ) ) )
14 setinds.1 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  ->  ph )
1510, 13, 14chvar 1968 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph )
165, 15sylbir 205 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  z  y  e.  { x  |  ph }  ->  [. z  /  x ]. ph )
173, 16sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( z 
C_  { x  | 
ph }  ->  [. z  /  x ]. ph )
18 df-sbc 3149 . . . . . 6  |-  ( [. z  /  x ]. ph  <->  z  e.  { x  |  ph }
)
1917, 18sylib 189 . . . . 5  |-  ( z 
C_  { x  | 
ph }  ->  z  e.  { x  |  ph } )
202, 19mpg 1557 . . . 4  |-  { x  |  ph }  =  _V
2120eqcomi 2434 . . 3  |-  _V  =  { x  |  ph }
2221abeq2i 2537 . 2  |-  ( x  e.  _V  <->  ph )
231, 22mpbi 200 1  |-  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2416   A.wral 2692   _Vcvv 2943   [.wsbc 3148    C_ wss 3307
This theorem is referenced by:  setinds2f  25385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-reg 7544  ax-inf2 7580
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-recs 6619  df-rdg 6654
  Copyright terms: Public domain W3C validator