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Theorem setindtr 26786
Description: Epsilon induction for sets contained in a transitive set. If we are allowed to assume Infinity, then all sets have a transitive closure and this reduces to setind 7606; however, this version is useful without Infinity. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
setindtr  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  ( E. y ( Tr  y  /\  B  e.  y
)  ->  B  e.  A ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem setindtr
StepHypRef Expression
1 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x Tr  y
2 nfa1 1796 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)
31, 2nfan 1836 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( Tr  y  /\  A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
) )
4 eldifn 3413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( y  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
54adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Tr  y  /\  A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
) )  /\  x  e.  ( y  \  A
) )  ->  -.  x  e.  A )
6 eldifi 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( y  \  A )  ->  x  e.  y )
7 trss 4252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Tr  y  ->  ( x  e.  y  ->  x  C_  y ) )
86, 7syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Tr  y  ->  ( x  e.  ( y  \  A
)  ->  x  C_  y
) )
98imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Tr  y  /\  x  e.  ( y  \  A
) )  ->  x  C_  y )
10 df-ss 3277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x 
C_  y  <->  ( x  i^i  y )  =  x )
119, 10sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Tr  y  /\  x  e.  ( y  \  A
) )  ->  (
x  i^i  y )  =  x )
1211adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Tr  y  /\  A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
) )  /\  x  e.  ( y  \  A
) )  ->  (
x  i^i  y )  =  x )
1312sseq1d 3318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Tr  y  /\  A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
) )  /\  x  e.  ( y  \  A
) )  ->  (
( x  i^i  y
)  C_  A  <->  x  C_  A
) )
14 sp 1755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  ( x  C_  A  ->  x  e.  A ) )
1514ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Tr  y  /\  A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
) )  /\  x  e.  ( y  \  A
) )  ->  (
x  C_  A  ->  x  e.  A ) )
1613, 15sylbid 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Tr  y  /\  A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
) )  /\  x  e.  ( y  \  A
) )  ->  (
( x  i^i  y
)  C_  A  ->  x  e.  A ) )
175, 16mtod 170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Tr  y  /\  A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
) )  /\  x  e.  ( y  \  A
) )  ->  -.  ( x  i^i  y
)  C_  A )
18 inssdif0 3638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  y ) 
C_  A  <->  ( x  i^i  ( y  \  A
) )  =  (/) )
1917, 18sylnib 296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Tr  y  /\  A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
) )  /\  x  e.  ( y  \  A
) )  ->  -.  ( x  i^i  (
y  \  A )
)  =  (/) )
2019ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Tr  y  /\  A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
) )  ->  (
x  e.  ( y 
\  A )  ->  -.  ( x  i^i  (
y  \  A )
)  =  (/) ) )
213, 20ralrimi 2730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  y  /\  A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
) )  ->  A. x  e.  ( y  \  A
)  -.  ( x  i^i  ( y  \  A ) )  =  (/) )
22 ralnex 2659 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( y  \  A )  -.  (
x  i^i  ( y  \  A ) )  =  (/) 
<->  -.  E. x  e.  ( y  \  A
) ( x  i^i  ( y  \  A
) )  =  (/) )
2321, 22sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( Tr  y  /\  A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
) )  ->  -.  E. x  e.  ( y 
\  A ) ( x  i^i  ( y 
\  A ) )  =  (/) )
24 vex 2902 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
25 difss 3417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
\  A )  C_  y
2624, 25ssexi 4289 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
\  A )  e. 
_V
2726zfreg 7496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  \  A )  =/=  (/)  ->  E. x  e.  ( y  \  A
) ( x  i^i  ( y  \  A
) )  =  (/) )
2827necon1bi 2593 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
E. x  e.  ( y  \  A ) ( x  i^i  (
y  \  A )
)  =  (/)  ->  (
y  \  A )  =  (/) )
2923, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  y  /\  A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
) )  ->  (
y  \  A )  =  (/) )
30 ssdif0 3629 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  A  <->  ( y  \  A )  =  (/) )
3129, 30sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  y  /\  A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
) )  ->  y  C_  A )
3231adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( Tr  y  /\  B  e.  y )  /\  A. x ( x 
C_  A  ->  x  e.  A ) )  -> 
y  C_  A )
33 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( Tr  y  /\  B  e.  y )  /\  A. x ( x 
C_  A  ->  x  e.  A ) )  ->  B  e.  y )
3432, 33sseldd 3292 . . . 4  |-  ( ( ( Tr  y  /\  B  e.  y )  /\  A. x ( x 
C_  A  ->  x  e.  A ) )  ->  B  e.  A )
3534ex 424 . . 3  |-  ( ( Tr  y  /\  B  e.  y )  ->  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  B  e.  A ) )
3635exlimiv 1641 . 2  |-  ( E. y ( Tr  y  /\  B  e.  y
)  ->  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  B  e.  A ) )
3736com12 29 1  |-  ( A. x ( x  C_  A  ->  x  e.  A
)  ->  ( E. y ( Tr  y  /\  B  e.  y
)  ->  B  e.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650    \ cdif 3260    i^i cin 3262    C_ wss 3263   (/)c0 3571   Tr wtr 4243
This theorem is referenced by:  setindtrs  26787
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-reg 7493
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-v 2901  df-dif 3266  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-uni 3958  df-tr 4244
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