MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgmppw Unicode version

Theorem sgmppw 20438
Description: The value of the divisor function at a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
sgmppw  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  sigma  ( P ^ N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( P  ^ c  A ) ^ k
) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N    P, k

Proof of Theorem sgmppw
Dummy variables  i  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
2 simp2 956 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  P  e.  Prime )
3 prmnn 12763 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  P  e.  NN )
5 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
64, 5nnexpcld 11268 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P ^ N )  e.  NN )
7 sgmval 20382 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( P ^ N )  e.  NN )  -> 
( A  sigma  ( P ^ N ) )  =  sum_ n  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ N ) }  (
n  ^ c  A
) )
81, 6, 7syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  sigma  ( P ^ N ) )  = 
sum_ n  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ N ) }  ( n  ^ c  A ) )
9 oveq1 5867 . . 3  |-  ( n  =  ( P ^
k )  ->  (
n  ^ c  A
)  =  ( ( P ^ k )  ^ c  A ) )
10 fzfid 11037 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
0 ... N )  e. 
Fin )
11 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( i  e.  ( 0 ... N )  |->  ( P ^ i ) )  =  ( i  e.  ( 0 ... N
)  |->  ( P ^
i ) )
1211dvdsppwf1o 20428 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
i  e.  ( 0 ... N )  |->  ( P ^ i ) ) : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ N ) } )
132, 5, 12syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
i  e.  ( 0 ... N )  |->  ( P ^ i ) ) : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ N ) } )
14 oveq2 5868 . . . . 5  |-  ( i  =  k  ->  ( P ^ i )  =  ( P ^ k
) )
15 ovex 5885 . . . . 5  |-  ( P ^ k )  e. 
_V
1614, 11, 15fvmpt 5604 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( i  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( P ^ i
) ) `  k
)  =  ( P ^ k ) )
1716adantl 452 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( i  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( P ^ i
) ) `  k
)  =  ( P ^ k ) )
18 ssrab2 3260 . . . . . 6  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ N ) }  C_  NN
1918sseli 3178 . . . . 5  |-  ( n  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ N ) }  ->  n  e.  NN )
2019nncnd 9764 . . . 4  |-  ( n  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ N ) }  ->  n  e.  CC )
21 cxpcl 20023 . . . 4  |-  ( ( n  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( n  ^ c  A )  e.  CC )
2220, 1, 21syl2anr 464 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  n  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ N ) } )  ->  ( n  ^ c  A )  e.  CC )
239, 10, 13, 17, 22fsumf1o 12198 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ N ) }  ( n  ^ c  A )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( P ^ k
)  ^ c  A
) )
24 elfznn0 10824 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
2524adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
2625nn0cnd 10022 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  CC )
271adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
2826, 27mulcomd 8858 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
k  x.  A )  =  ( A  x.  k ) )
2928oveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( P  ^ c  ( k  x.  A ) )  =  ( P  ^ c  ( A  x.  k ) ) )
304adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  P  e.  NN )
3130nnrpd 10391 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  P  e.  RR+ )
3225nn0red 10021 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  RR )
3331, 32, 27cxpmuld 20083 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( P  ^ c  ( k  x.  A ) )  =  ( ( P  ^ c  k )  ^ c  A ) )
3430nncnd 9764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  P  e.  CC )
35 cxpexp 20017 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( P  ^ c 
k )  =  ( P ^ k ) )
3634, 25, 35syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( P  ^ c  k )  =  ( P ^
k ) )
3736oveq1d 5875 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( P  ^ c 
k )  ^ c  A )  =  ( ( P ^ k
)  ^ c  A
) )
3833, 37eqtrd 2317 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( P  ^ c  ( k  x.  A ) )  =  ( ( P ^ k )  ^ c  A ) )
3934, 27, 25cxpmul2d 20058 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( P  ^ c  ( A  x.  k ) )  =  ( ( P  ^ c  A ) ^ k ) )
4029, 38, 393eqtr3d 2325 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( P ^ k
)  ^ c  A
)  =  ( ( P  ^ c  A
) ^ k ) )
4140sumeq2dv 12178 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( P ^ k )  ^ c  A )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( P  ^ c  A ) ^ k
) )
428, 23, 413eqtrd 2321 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  P  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  sigma  ( P ^ N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( P  ^ c  A ) ^ k
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   {crab 2549   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   -1-1-onto->wf1o 5256   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   0cc0 8739    x. cmul 8744   NNcn 9748   NN0cn0 9967   ...cfz 10784   ^cexp 11106   sum_csu 12160    || cdivides 12533   Primecprime 12760    ^ c ccxp 19915    sigma csgm 20335
This theorem is referenced by:  1sgmprm  20440  1sgm2ppw  20441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-ef 12351  df-sin 12353  df-cos 12354  df-pi 12356  df-dvds 12534  df-gcd 12688  df-prm 12761  df-pc 12892  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-mulg 14494  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-lp 16870  df-perf 16871  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cncf 18384  df-limc 19218  df-dv 19219  df-log 19916  df-cxp 19917  df-sgm 20341
  Copyright terms: Public domain W3C validator