Theorem shaddcltOLD 9081

Description: Closure of vector addition in a subspace of a Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
shaddcltOLD	|- (H e. SH -> ((A e. H /\ B e. H) -> (A +h B) e. H))

Proof of Theorem shaddcltOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3974	. . . 4 |- (x = A -> (x +h y) = (A +h y))
2	1	eleq1d 1543	. . 3 |- (x = A -> ((x +h y) e. H <-> (A +h y) e. H))
3		opreq2 3975	. . . 4 |- (y = B -> (A +h y) = (A +h B))
4	3	eleq1d 1543	. . 3 |- (y = B -> ((A +h y) e. H <-> (A +h B) e. H))
5	2, 4	rcla42v 1883	. 2 |- ((A e. H /\ B e. H) -> (A.x e. H A.y e. H (x +h y) e. H -> (A +h B) e. H))
6		sh 9073	. . . 4 |- (H e. SH <-> ((H (_ H~ /\ 0h e. H) /\ (A.x e. H A.y e. H (x +h y) e. H /\ A.x e. CC A.y e. H (x .h y) e. H)))
7	6	pm3.27bi 326	. . 3 |- (H e. SH -> (A.x e. H A.y e. H (x +h y) e. H /\ A.x e. CC A.y e. H (x .h y) e. H))
8	7	pm3.26d 321	. 2 |- (H e. SH -> A.x e. H A.y e. H (x +h y) e. H)
9	5, 8	syl5com 52	1 |- (H e. SH -> ((A e. H /\ B e. H) -> (A +h B) e. H))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648   (_ wss 2050  (class class class)co 3969  CCcc 5244  H~chil 8783   +h cva 8784   .h csm 8785  0hc0v 8786  SHcsh 8792

This theorem is referenced by:  shsubcltOLD 9085  projlem18 9198  pjthlem12 9225  shscl 9276  shslej 9333  shsidm 9352  spanun 9462  spanunsn 9497  sumspansnt 9589  pjadd 9615

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-hilex 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fv 3204  df-opr 3971  df-sh 9071

Copyright terms: Public domain