Theorem shatomistic 10225

Description: The lattice of Hilbert subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70.

Hypothesis

Ref	Expression
shatomistic.1	|- A e. SH

Assertion

Ref	Expression
shatomistic	|- A = (span` U.{x e. Atoms | x (_ A})

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem shatomistic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1531	. . . 4 |- (y = 0h -> (y e. (span` U.{x e. Atoms | x (_ A}) <-> 0h e. (span` U.{x e. Atoms | x (_ A})))
2		shatomistic.1	. . . . . . . . 9 |- A e. SH
3	2	shel 9021	. . . . . . . 8 |- (y e. A -> y e. H~)
4		spansnsht 9423	. . . . . . . 8 |- (y e. H~ -> (span` {y}) e. SH)
5		spanid 9255	. . . . . . . 8 |- ((span` {y}) e. SH -> (span` (span` {y})) = (span` {y}))
6	3, 4, 5	3syl 20	. . . . . . 7 |- (y e. A -> (span` (span` {y})) = (span` {y}))
7	6	adantr 389	. . . . . 6 |- ((y e. A /\ y =/= 0h) -> (span` (span` {y})) = (span` {y}))
8		spansnat 10214	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. H~ /\ y =/= 0h) -> (span` {y}) e. Atoms)
9	8, 3	sylan 448	. . . . . . . . 9 |- ((y e. A /\ y =/= 0h) -> (span` {y}) e. Atoms)
10		spansnsst 9434	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. SH /\ y e. A) -> (span` {y}) (_ A)
11	2, 10	mpan 694	. . . . . . . . . 10 |- (y e. A -> (span` {y}) (_ A)
12	11	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- ((y e. A /\ y =/= 0h) -> (span` {y}) (_ A)
13	9, 12	jca 288	. . . . . . . 8 |- ((y e. A /\ y =/= 0h) -> ((span` {y}) e. Atoms /\ (span` {y}) (_ A))
14		sseq1 2078	. . . . . . . . 9 |- (x = (span` {y}) -> (x (_ A <-> (span` {y}) (_ A))
15	14	elrab 1901	. . . . . . . 8 |- ((span` {y}) e. {x e. Atoms | x (_ A} <-> ((span` {y}) e. Atoms /\ (span` {y}) (_ A))
16	13, 15	sylibr 200	. . . . . . 7 |- ((y e. A /\ y =/= 0h) -> (span` {y}) e. {x e. Atoms | x (_ A})
17		elssuni 2521	. . . . . . 7 |- ((span` {y}) e. {x e. Atoms | x (_ A} -> (span` {y}) (_ U.{x e. Atoms | x (_ A})
18		atssch 10207	. . . . . . . . . . . 12 |- Atoms (_ CH
19		chsssh 9033	. . . . . . . . . . . 12 |- CH (_ SH
20	18, 19	sstri 2069	. . . . . . . . . . 11 |- Atoms (_ SH
21		rabss2 2125	. . . . . . . . . . 11 |- (Atoms (_ SH -> {x e. Atoms | x (_ A} (_ {x e. SH | x (_ A})
22	20, 21	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- {x e. Atoms | x (_ A} (_ {x e. SH | x (_ A}
23		uniss 2516	. . . . . . . . . 10 |- ({x e. Atoms | x (_ A} (_ {x e. SH | x (_ A} -> U.{x e. Atoms | x (_ A} (_ U.{x e. SH | x (_ A})
24	22, 23	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- U.{x e. Atoms | x (_ A} (_ U.{x e. SH | x (_ A}
25		unimax 2527	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. SH -> U.{x e. SH | x (_ A} = A)
26	2, 25	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- U.{x e. SH | x (_ A} = A
27	2	shssi 9020	. . . . . . . . . 10 |- A (_ H~
28	26, 27	eqsstr 2087	. . . . . . . . 9 |- U.{x e. SH | x (_ A} (_ H~
29	24, 28	sstri 2069	. . . . . . . 8 |- U.{x e. Atoms | x (_ A} (_ H~
30		spanss 9256	. . . . . . . 8 |- ((U.{x e. Atoms | x (_ A} (_ H~ /\ (span` {y}) (_ U.{x e. Atoms | x (_ A}) -> (span` (span` {y})) (_ (span` U.{x e. Atoms | x (_ A}))
31	29, 30	mpan 694	. . . . . . 7 |- ((span` {y}) (_ U.{x e. Atoms | x (_ A} -> (span` (span` {y})) (_ (span` U.{x e. Atoms | x (_ A}))
32	16, 17, 31	3syl 20	. . . . . 6 |- ((y e. A /\ y =/= 0h) -> (span` (span` {y})) (_ (span` U.{x e. Atoms | x (_ A}))
33	7, 32	eqsstr3d 2092	. . . . 5 |- ((y e. A /\ y =/= 0h) -> (span` {y}) (_ (span` U.{x e. Atoms | x (_ A}))
34		spansnid 9425	. . . . . . 7 |- (y e. H~ -> y e. (span` {y}))
35	3, 34	syl 10	. . . . . 6 |- (y e. A -> y e. (span` {y}))
36	35	adantr 389	. . . . 5 |- ((y e. A /\ y =/= 0h) -> y e. (span` {y}))
37	33, 36	sseldd 2064	. . . 4 |- ((y e. A /\ y =/= 0h) -> y e. (span` U.{x e. Atoms | x (_ A}))
38		spanclt 9242	. . . . . . 7 |- (U.{x e. Atoms | x (_ A} (_ H~ -> (span` U.{x e. Atoms | x (_ A}) e. SH)
39	29, 38	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (span` U.{x e. Atoms | x (_ A}) e. SH
40		sh0 9023	. . . . . 6 |- ((span` U.{x e. Atoms | x (_ A}) e. SH -> 0h e. (span` U.{x e. Atoms | x (_ A}))
41	39, 40	ax-mp 7	. . . . 5 |- 0h e. (span` U.{x e. Atoms | x (_ A})
42	41	a1i 8	. . . 4 |- (y e. A -> 0h e. (span` U.{x e. Atoms | x (_ A}))
43	1, 37, 42	pm2.61ne 1630	. . 3 |- (y e. A -> y e. (span` U.{x e. Atoms | x (_ A}))
44	43	ssriv 2065	. 2 |- A (_ (span` U.{x e. Atoms | x (_ A})
45		spanss 9256	. . . 4 |- ((U.{x e. SH | x (_ A} (_ H~ /\ U.{x e. Atoms | x (_ A} (_ U.{x e. SH | x (_ A}) -> (span` U.{x e. Atoms | x (_ A}) (_ (span` U.{x e. SH | x (_ A}))
46	28, 24, 45	mp2an 696	. . 3 |- (span` U.{x e. Atoms | x (_ A}) (_ (span` U.{x e. SH | x (_ A})
47	26	fveq2i 3718	. . . 4 |- (span` U.{x e. SH | x (_ A}) = (span` A)
48		spanid 9255	. . . . 5 |- (A e. SH -> (span` A) = A)
49	2, 48	ax-mp 7	. . . 4 |- (span` A) = A
50	47, 49	eqtr 1492	. . 3 |- (span` U.{x e. SH | x (_ A}) = A
51	46, 50	sseqtr 2089	. 2 |- (span` U.{x e. Atoms | x (_ A}) (_ A
52	44, 51	eqssi 2074	1 |- A = (span` U.{x e. Atoms | x (_ A})

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582  {crab 1645   (_ wss 2043  {csn 2405  U.cuni 2498  ` cfv 3177  H~chil 8727  0hc0v 8730  SHcsh 8736  CHcch 8737  spancspn 8740  Atomscat 8772

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605  ax-ac 4724  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hvcom 8810  ax-hvass 8811  ax-hv0cl 8812  ax-hvaddid 8813  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulid 8815  ax-hvmulass 8816  ax-hvdistr1 8817  ax-hvdistr2 8818  ax-hvmul0 8819  ax-hfi 8885  ax-his1 8888  ax-his2 8889  ax-his3 8890  ax-his4 8891  ax-hcompl 9010

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-iin 2564  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-map 4314  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-r1 4623  df-rank 4624  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-q 6202  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-ioo 6306  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-clim 6921  df-sum 6926  df-top 7542  df-bases 7544  df-topgen 7545  df-cld 7613  df-ntr 7614  df-cls 7615  df-cn 7704  df-cnp 7705  df-haus 7732  df-met 7743  df-bl 7745  df-opn 7746  df-lm 7874  df-grp 7987  df-gid 7988  df-ginv 7989  df-gdiv 7990  df-abl 8051  df-vc 8117  df-nv 8163  df-va 8166  df-ba 8167  df-sm 8168  df-0v 8169  df-vs 8170  df-nm 8171  df-ims 8172  df-ip 8297  df-ph 8416  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-hlim 8780  df-hcau 8781  df-sh 9015  df-ch 9031  df-oc 9063  df-ch0 9064  df-span 9212  df-cv 10144  df-at 10202

Copyright terms: Public domain