HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shatomistici Unicode version

Theorem shatomistici 22943
Description: The lattice of Hilbert subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 26-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
shatomistic.1  |-  A  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shatomistici  |-  A  =  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem shatomistici
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2345 . . . 4  |-  ( y  =  0h  ->  (
y  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)  <->  0h  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )
2 shatomistic.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e.  SH
32sheli 21795 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
4 spansnsh 22142 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( span `  { y } )  e.  SH )
5 spanid 21928 . . . . . . . 8  |-  ( (
span `  { y } )  e.  SH  ->  ( span `  ( span `  { y } ) )  =  (
span `  { y } ) )
63, 4, 53syl 18 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  ( span `  ( span `  {
y } ) )  =  ( span `  {
y } ) )
76adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  ( span `  { y } ) )  =  ( span `  { y } ) )
8 spansna 22932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  e. HAtoms )
93, 8sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  e. HAtoms )
10 spansnss 22152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A )  ->  ( span `  {
y } )  C_  A )
112, 10mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  ( span `  { y } )  C_  A )
1211adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  C_  A
)
13 sseq1 3201 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( x  C_  A  <->  (
span `  { y } )  C_  A
) )
1413elrab 2925 . . . . . . . 8  |-  ( (
span `  { y } )  e.  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  <->  ( ( span `  { y } )  e. HAtoms  /\  ( span `  { y } )  C_  A )
)
159, 12, 14sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  e.  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
16 elssuni 3857 . . . . . . 7  |-  ( (
span `  { y } )  e.  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  ->  ( span `  { y } )  C_  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
17 atssch 22925 . . . . . . . . . . 11  |- HAtoms  C_  CH
18 chsssh 21807 . . . . . . . . . . 11  |-  CH  C_  SH
1917, 18sstri 3190 . . . . . . . . . 10  |- HAtoms  C_  SH
20 rabss2 3258 . . . . . . . . . 10  |-  (HAtoms  C_  SH  ->  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A }  C_  { x  e.  SH  |  x  C_  A } )
21 uniss 3850 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  { x  e.  SH  |  x  C_  A }  ->  U. {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  U. {
x  e.  SH  |  x  C_  A } )
2219, 20, 21mp2b 9 . . . . . . . . 9  |-  U. {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  U. {
x  e.  SH  |  x  C_  A }
23 unimax 3863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  SH  ->  U. {
x  e.  SH  |  x  C_  A }  =  A )
242, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  U. {
x  e.  SH  |  x  C_  A }  =  A
252shssii 21794 . . . . . . . . . 10  |-  A  C_  ~H
2624, 25eqsstri 3210 . . . . . . . . 9  |-  U. {
x  e.  SH  |  x  C_  A }  C_  ~H
2722, 26sstri 3190 . . . . . . . 8  |-  U. {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  ~H
28 spanss 21929 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_ 
~H  /\  ( span `  { y } ) 
C_  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)  ->  ( span `  ( span `  {
y } ) ) 
C_  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) )
2927, 28mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( (
span `  { y } )  C_  U. {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  ->  ( span `  ( span `  {
y } ) ) 
C_  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) )
3015, 16, 293syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  ( span `  { y } ) )  C_  ( span ` 
U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
) )
317, 30eqsstr3d 3215 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  C_  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )
32 spansnid 22144 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  y  e.  ( span `  {
y } ) )
333, 32syl 15 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( span `  {
y } ) )
3433adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
y  e.  ( span `  { y } ) )
3531, 34sseldd 3183 . . . 4  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
y  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
) )
36 spancl 21917 . . . . . 6  |-  ( U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A }  C_  ~H  ->  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  e.  SH )
37 sh0 21797 . . . . . 6  |-  ( (
span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  e.  SH  ->  0h  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
) )
3827, 36, 37mp2b 9 . . . . 5  |-  0h  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
3938a1i 10 . . . 4  |-  ( y  e.  A  ->  0h  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) )
401, 35, 39pm2.61ne 2523 . . 3  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) )
4140ssriv 3186 . 2  |-  A  C_  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
42 spanss 21929 . . . 4  |-  ( ( U. { x  e.  SH  |  x  C_  A }  C_  ~H  /\  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A }  C_  U. { x  e.  SH  |  x  C_  A }
)  ->  ( span ` 
U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)  C_  ( span ` 
U. { x  e.  SH  |  x  C_  A } ) )
4326, 22, 42mp2an 653 . . 3  |-  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)  C_  ( span ` 
U. { x  e.  SH  |  x  C_  A } )
4424fveq2i 5530 . . . 4  |-  ( span `  U. { x  e.  SH  |  x  C_  A } )  =  (
span `  A )
45 spanid 21928 . . . . 5  |-  ( A  e.  SH  ->  ( span `  A )  =  A )
462, 45ax-mp 8 . . . 4  |-  ( span `  A )  =  A
4744, 46eqtri 2305 . . 3  |-  ( span `  U. { x  e.  SH  |  x  C_  A } )  =  A
4843, 47sseqtri 3212 . 2  |-  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)  C_  A
4941, 48eqssi 3197 1  |-  A  =  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   {crab 2549    C_ wss 3154   {csn 3642   U.cuni 3829   ` cfv 5257   ~Hchil 21501   0hc0v 21506   SHcsh 21510   CHcch 21511   spancspn 21514  HAtomscat 21547
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cc 8063  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819  ax-hilex 21581  ax-hfvadd 21582  ax-hvcom 21583  ax-hvass 21584  ax-hv0cl 21585  ax-hvaddid 21586  ax-hfvmul 21587  ax-hvmulid 21588  ax-hvmulass 21589  ax-hvdistr1 21590  ax-hvdistr2 21591  ax-hvmul0 21592  ax-hfi 21660  ax-his1 21663  ax-his2 21664  ax-his3 21665  ax-his4 21666  ax-hcompl 21783
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-omul 6486  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-acn 7577  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-seq 11049  df-exp 11107  df-hash 11340  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-mulg 14494  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-lm 16961  df-haus 17045  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cfil 18683  df-cau 18684  df-cmet 18685  df-grpo 20860  df-gid 20861  df-ginv 20862  df-gdiv 20863  df-ablo 20951  df-subgo 20971  df-vc 21104  df-nv 21150  df-va 21153  df-ba 21154  df-sm 21155  df-0v 21156  df-vs 21157  df-nmcv 21158  df-ims 21159  df-dip 21276  df-ssp 21300  df-ph 21393  df-cbn 21444  df-hnorm 21550  df-hba 21551  df-hvsub 21553  df-hlim 21554  df-hcau 21555  df-sh 21788  df-ch 21803  df-oc 21833  df-ch0 21834  df-span 21890  df-cv 22861  df-at 22920
  Copyright terms: Public domain W3C validator