Theorem shftf 6351

Description: Functionality of a restricted shifted sequence.

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
shftf	|- ((A e. D /\ B (_ CC /\ A.x e. B (F` (x - A)) e. C) -> ((F shift A) |` B):B-->C)

Distinct variable groups:   x,A   x,F   x,B   x,C

Proof of Theorem shftf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . . 6 |- F e. V
2	1	shftres 6344	. . . . 5 |- ((A e. V /\ B (_ CC) -> ((F shift A) |` B) Fn B)
3	2	3adant3 799	. . . 4 |- ((A e. V /\ B (_ CC /\ A.x e. B (F` (x - A)) e. C) -> ((F shift A) |` B) Fn B)
4	1	shftresvalt 6345	. . . . . . . . 9 |- (x e. B -> (((F shift A) |` B)` x) = ((F shift A)` x))
5	4	adantl 388	. . . . . . . 8 |- (((A e. V /\ B (_ CC) /\ x e. B) -> (((F shift A) |` B)` x) = ((F shift A)` x))
6		ssel2 2064	. . . . . . . . . . 11 |- ((B (_ CC /\ x e. B) -> x e. CC)
7	6	anim2i 335	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. V /\ (B (_ CC /\ x e. B)) -> (A e. V /\ x e. CC))
8	7	anassrs 441	. . . . . . . . 9 |- (((A e. V /\ B (_ CC) /\ x e. B) -> (A e. V /\ x e. CC))
9	1	shftvalt 6346	. . . . . . . . 9 |- ((A e. V /\ x e. CC) -> ((F shift A)` x) = (F` (x - A)))
10	8, 9	syl 10	. . . . . . . 8 |- (((A e. V /\ B (_ CC) /\ x e. B) -> ((F shift A)` x) = (F` (x - A)))
11	5, 10	eqtr2d 1508	. . . . . . 7 |- (((A e. V /\ B (_ CC) /\ x e. B) -> (F` (x - A)) = (((F shift A) |` B)` x))
12	11	eleq1d 1540	. . . . . 6 |- (((A e. V /\ B (_ CC) /\ x e. B) -> ((F` (x - A)) e. C <-> (((F shift A) |` B)` x) e. C))
13	12	ralbidva 1659	. . . . 5 |- ((A e. V /\ B (_ CC) -> (A.x e. B (F` (x - A)) e. C <-> A.x e. B (((F shift A) |` B)` x) e. C))
14	13	biimp3a 919	. . . 4 |- ((A e. V /\ B (_ CC /\ A.x e. B (F` (x - A)) e. C) -> A.x e. B (((F shift A) |` B)` x) e. C)
15	3, 14	jca 288	. . 3 |- ((A e. V /\ B (_ CC /\ A.x e. B (F` (x - A)) e. C) -> (((F shift A) |` B) Fn B /\ A.x e. B (((F shift A) |` B)` x) e. C))
16		ffnfv 3828	. . 3 |- (((F shift A) |` B):B-->C <-> (((F shift A) |` B) Fn B /\ A.x e. B (((F shift A) |` B)` x) e. C))
17	15, 16	sylibr 200	. 2 |- ((A e. V /\ B (_ CC /\ A.x e. B (F` (x - A)) e. C) -> ((F shift A) |` B):B-->C)
18		elisset 1817	. 2 |- (A e. D -> A e. V)
19	17, 18	syl3an1 859	1 |- ((A e. D /\ B (_ CC /\ A.x e. B (F` (x - A)) e. C) -> ((F shift A) |` B):B-->C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  Vcvv 1811   (_ wss 2047   |` cres 3172   Fn wfn 3177  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232   - cmin 5292   shift cshi 6340

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-qs 4266  df-ni 5000  df-nq 5038  df-np 5086  df-nr 5167  df-c 5240  df-shft 6341

Copyright terms: Public domain