Theorem shftfn 6298

Description: Functionality and domain of a sequence shifted by A.

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
shftfn	|- (A e. B -> (F shift A) Fn CC)

Proof of Theorem shftfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3729	. . 3 |- (F` (x - A)) e. V
2		eqid 1475	. . 3 |- {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))} = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))}
3	1, 2	fnopab2 3615	. 2 |- {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))} Fn CC
4		shftfval.1	. . . 4 |- F e. V
5	4	shftfval 6297	. . 3 |- (A e. B -> (F shift A) = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))})
6		fneq1 3579	. . 3 |- ((F shift A) = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))} -> ((F shift A) Fn CC <-> {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))} Fn CC))
7	5, 6	syl 10	. 2 |- (A e. B -> ((F shift A) Fn CC <-> {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))} Fn CC))
8	3, 7	mpbiri 194	1 |- (A e. B -> (F shift A) Fn CC)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  Vcvv 1809  {copab 2663   Fn wfn 3174  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  CCcc 5219   - cmin 5279   shift cshi 6295

This theorem is referenced by:  shftres 6299  seqzfn 6489  seq0fn 6496  climshft2 7074

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-fv 3195  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-qs 4263  df-ni 4987  df-nq 5025  df-np 5073  df-nr 5154  df-c 5227  df-shft 6296

Copyright terms: Public domain