Theorem shftfval 6287

Description: The value of the sequence shifter operation is a function on CC. A is ordinarily an integer.

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
shftfval	|- (A e. B -> (F shift A) = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))})

Distinct variable groups:   x,y,A   x,F,y   x,B,y

Proof of Theorem shftfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. 2 |- F e. V
2		axcnex 5247	. . . 4 |- CC e. V
3	2	opabex2 3602	. . 3 |- {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))} e. V
4		fveq1 3714	. . . . . 6 |- (f = F -> (f` (x - w)) = (F` (x - w)))
5	4	eqeq2d 1483	. . . . 5 |- (f = F -> (y = (f` (x - w)) <-> y = (F` (x - w))))
6	5	anbi2d 615	. . . 4 |- (f = F -> ((x e. CC /\ y = (f` (x - w))) <-> (x e. CC /\ y = (F` (x - w)))))
7	6	opabbidv 2665	. . 3 |- (f = F -> {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (f` (x - w)))} = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - w)))})
8		opreq2 3960	. . . . . . 7 |- (w = A -> (x - w) = (x - A))
9	8	fveq2d 3719	. . . . . 6 |- (w = A -> (F` (x - w)) = (F` (x - A)))
10	9	eqeq2d 1483	. . . . 5 |- (w = A -> (y = (F` (x - w)) <-> y = (F` (x - A))))
11	10	anbi2d 615	. . . 4 |- (w = A -> ((x e. CC /\ y = (F` (x - w))) <-> (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))))
12	11	opabbidv 2665	. . 3 |- (w = A -> {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - w)))} = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))})
13		df-shft 6286	. . 3 |- shift = {<.<.f, w>., g>. | g = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (f` (x - w)))}}
14	3, 7, 12, 13	oprabval5 4020	. 2 |- ((F e. V /\ A e. B) -> (F shift A) = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))})
15	1, 14	mpan 694	1 |- (A e. B -> (F shift A) = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807  {copab 2661  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212   - cmin 5272   shift cshi 6285

This theorem is referenced by:  shftfn 6288  shftvalt 6291  2shft 6297

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-qs 4256  df-ni 4980  df-nq 5018  df-np 5066  df-nr 5147  df-c 5220  df-shft 6286

Copyright terms: Public domain