Theorem shincl 9331

Description: Closure of intersection of two subspaces.

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	|- A e. SH
shincl.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
shincl	|- (A i^i B) e. SH

Proof of Theorem shincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . 4 |- A e. SH
2	1	elisseti 1818	. . 3 |- A e. V
3		shincl.2	. . . 4 |- B e. SH
4	3	elisseti 1818	. . 3 |- B e. V
5	2, 4	intpr 2563	. 2 |- |^|{A, B} = (A i^i B)
6	1, 3	pm3.2i 285	. . . . 5 |- (A e. SH /\ B e. SH)
7	2, 4	prss 2471	. . . . 5 |- ((A e. SH /\ B e. SH) <-> {A, B} (_ SH)
8	6, 7	mpbi 189	. . . 4 |- {A, B} (_ SH
9	2	prnz 2459	. . . 4 |- {A, B} =/= (/)
10	8, 9	pm3.2i 285	. . 3 |- ({A, B} (_ SH /\ {A, B} =/= (/))
11	10	shintcl 9293	. 2 |- |^|{A, B} e. SH
12	5, 11	eqeltrr 1545	1 |- (A i^i B) e. SH

Syntax hints:   /\ wa 223   e. wcel 958   =/= wne 1585   i^i cin 2046   (_ wss 2047  (/)c0 2280  {cpr 2410  |^|cint 2533  SHcsh 8797

This theorem is referenced by:  shinclt 9351  shmods 9362  shmod 9363  5oalem1 9599  5oalem3 9601  5oalem5 9603  5oalem6 9604  5oa 9606  3oalem2 9608  3oalem6 9612  cdj3lem1 10361

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869  ax-hv0cl 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198  df-opr 3965  df-sh 9076

Copyright terms: Public domain