Theorem shintcl 9231

Description: Closure of intersection of a non-empty subset of SH.

Hypothesis

Ref	Expression
shintcl.1	|- (A (_ SH /\ A =/= (/))

Assertion

Ref	Expression
shintcl	|- |^|A e. SH

Proof of Theorem shintcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sh 9017	. 2 |- (|^|A e. SH <-> ((|^|A (_ H~ /\ 0h e. |^|A) /\ (A.x e. |^|AA.y e. |^|A(x +h y) e. |^|A /\ A.x e. CC A.y e. |^|A(x .h y) e. |^|A)))
2		shintcl.1	. . . . 5 |- (A (_ SH /\ A =/= (/))
3	2	pm3.27i 324	. . . 4 |- A =/= (/)
4		ne0 2284	. . . . 5 |- (A =/= (/) <-> E.z z e. A)
5		intss1 2543	. . . . . . 7 |- (z e. A -> |^|A (_ z)
6	2	pm3.26i 320	. . . . . . . . 9 |- A (_ SH
7	6	sseli 2061	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> z e. SH)
8		shss 9018	. . . . . . . 8 |- (z e. SH -> z (_ H~)
9	7, 8	syl 10	. . . . . . 7 |- (z e. A -> z (_ H~)
10	5, 9	sstrd 2070	. . . . . 6 |- (z e. A -> |^|A (_ H~)
11	10	19.23aiv 1293	. . . . 5 |- (E.z z e. A -> |^|A (_ H~)
12	4, 11	sylbi 199	. . . 4 |- (A =/= (/) -> |^|A (_ H~)
13	3, 12	ax-mp 7	. . 3 |- |^|A (_ H~
14		ax-hv0cl 8812	. . . . . 6 |- 0h e. H~
15	14	elisseti 1814	. . . . 5 |- 0h e. V
16	15	elint2 2535	. . . 4 |- (0h e. |^|A <-> A.z e. A 0h e. z)
17		sh0 9023	. . . . 5 |- (z e. SH -> 0h e. z)
18	7, 17	syl 10	. . . 4 |- (z e. A -> 0h e. z)
19	16, 18	mprgbir 1698	. . 3 |- 0h e. |^|A
20	13, 19	pm3.2i 285	. 2 |- (|^|A (_ H~ /\ 0h e. |^|A)
21		shaddclt 9024	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. SH /\ x e. z /\ y e. z) -> (x +h y) e. z)
22	21, 7	syl3an1 858	. . . . . . . . 9 |- ((z e. A /\ x e. z /\ y e. z) -> (x +h y) e. z)
23	22	3expib 835	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> ((x e. z /\ y e. z) -> (x +h y) e. z))
24		elinti 2537	. . . . . . . . 9 |- (x e. |^|A -> (z e. A -> x e. z))
25	24	com12 11	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> (x e. |^|A -> x e. z))
26		elinti 2537	. . . . . . . . 9 |- (y e. |^|A -> (z e. A -> y e. z))
27	26	com12 11	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> (y e. |^|A -> y e. z))
28	23, 25, 27	syl2and 459	. . . . . . 7 |- (z e. A -> ((x e. |^|A /\ y e. |^|A) -> (x +h y) e. z))
29	28	com12 11	. . . . . 6 |- ((x e. |^|A /\ y e. |^|A) -> (z e. A -> (x +h y) e. z))
30	29	r19.21aiv 1710	. . . . 5 |- ((x e. |^|A /\ y e. |^|A) -> A.z e. A (x +h y) e. z)
31		oprex 3974	. . . . . 6 |- (x +h y) e. V
32	31	elint2 2535	. . . . 5 |- ((x +h y) e. |^|A <-> A.z e. A (x +h y) e. z)
33	30, 32	sylibr 200	. . . 4 |- ((x e. |^|A /\ y e. |^|A) -> (x +h y) e. |^|A)
34	33	rgen2a 1696	. . 3 |- A.x e. |^|AA.y e. |^|A(x +h y) e. |^|A
35		shmulclt 9026	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. SH /\ x e. CC /\ y e. z) -> (x .h y) e. z)
36	35, 7	syl3an1 858	. . . . . . . . 9 |- ((z e. A /\ x e. CC /\ y e. z) -> (x .h y) e. z)
37	36	3expib 835	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> ((x e. CC /\ y e. z) -> (x .h y) e. z))
38	37, 27	sylan2d 458	. . . . . . 7 |- (z e. A -> ((x e. CC /\ y e. |^|A) -> (x .h y) e. z))
39	38	com12 11	. . . . . 6 |- ((x e. CC /\ y e. |^|A) -> (z e. A -> (x .h y) e. z))
40	39	r19.21aiv 1710	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ y e. |^|A) -> A.z e. A (x .h y) e. z)
41		oprex 3974	. . . . . 6 |- (x .h y) e. V
42	41	elint2 2535	. . . . 5 |- ((x .h y) e. |^|A <-> A.z e. A (x .h y) e. z)
43	40, 42	sylibr 200	. . . 4 |- ((x e. CC /\ y e. |^|A) -> (x .h y) e. |^|A)
44	43	rgen2 1720	. . 3 |- A.x e. CC A.y e. |^|A(x .h y) e. |^|A
45	34, 44	pm3.2i 285	. 2 |- (A.x e. |^|AA.y e. |^|A(x +h y) e. |^|A /\ A.x e. CC A.y e. |^|A(x .h y) e. |^|A)
46	1, 20, 45	mpbir2an 729	1 |- |^|A e. SH

Syntax hints:   /\ wa 223   e. wcel 956  E.wex 978   =/= wne 1582  A.wral 1642   (_ wss 2043  (/)c0 2276  |^|cint 2528  (class class class)co 3954  CCcc 5212  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729  0hc0v 8730  SHcsh 8736

This theorem is referenced by:  shintclt 9232  chintcl 9233  shincl 9269

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-hilex 8808  ax-hv0cl 8812

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-cnv 3181  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fv 3193  df-opr 3956  df-sh 9015

Copyright terms: Public domain