Theorem shlesb1 9359

Description: Hilbert lattice ordering in terms of subspace sum.

Hypotheses

Ref	Expression
shlesb1.1	|- A e. SH
shlesb1.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
shlesb1	|- (A (_ B <-> (A +H B) = B)

Proof of Theorem shlesb1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 2080	. . 3 |- B (_ B
2	1	biantrur 725	. 2 |- (A (_ B <-> (B (_ B /\ A (_ B))
3		shlesb1.2	. . 3 |- B e. SH
4		shlesb1.1	. . 3 |- A e. SH
5	3, 4, 3	shslub 9358	. 2 |- ((B (_ B /\ A (_ B) <-> (B +H A) (_ B)
6		eqss 2077	. . . 4 |- ((A +H B) = B <-> ((A +H B) (_ B /\ B (_ (A +H B)))
7	3, 4	shsub2 9342	. . . 4 |- B (_ (A +H B)
8	6, 7	mpbiran2 729	. . 3 |- ((A +H B) = B <-> (A +H B) (_ B)
9	4, 3	shscom 9332	. . . 4 |- (A +H B) = (B +H A)
10	9	sseq1i 2085	. . 3 |- ((A +H B) (_ B <-> (B +H A) (_ B)
11	8, 10	bitr2 174	. 2 |- ((B +H A) (_ B <-> (A +H B) = B)
12	2, 5, 11	3bitr 177	1 |- (A (_ B <-> (A +H B) = B)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   (_ wss 2047  (class class class)co 3963  SHcsh 8797   +H cph 8800

This theorem is referenced by:  shmods 9362

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvaddid 8874

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-sh 9076  df-shsum 9273

Copyright terms: Public domain