Theorem shless 9342

Description: Subset implies subset of subspace sum.

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	|- A e. SH
shincl.2	|- B e. SH
shless.1	|- C e. SH

Assertion

Ref	Expression
shless	|- (A (_ B -> (A +H C) (_ (B +H C))

Proof of Theorem shless

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2066	. . . . 5 |- (A (_ B -> (y e. A -> y e. B))
2	1	anim1d 562	. . . 4 |- (A (_ B -> ((y e. A /\ E.z e. C x = (y +h z)) -> (y e. B /\ E.z e. C x = (y +h z))))
3	2	r19.22dv2 1739	. . 3 |- (A (_ B -> (E.y e. A E.z e. C x = (y +h z) -> E.y e. B E.z e. C x = (y +h z)))
4		shincl.1	. . . 4 |- A e. SH
5		shless.1	. . . 4 |- C e. SH
6	4, 5	shsel 9275	. . 3 |- (x e. (A +H C) <-> E.y e. A E.z e. C x = (y +h z))
7		shincl.2	. . . 4 |- B e. SH
8	7, 5	shsel 9275	. . 3 |- (x e. (B +H C) <-> E.y e. B E.z e. C x = (y +h z))
9	3, 6, 8	3imtr4g 555	. 2 |- (A (_ B -> (x e. (A +H C) -> x e. (B +H C)))
10	9	ssrdv 2073	1 |- (A (_ B -> (A +H C) (_ (B +H C))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  E.wrex 1649   (_ wss 2050  (class class class)co 3969   +h cva 8784  SHcsh 8792   +H cph 8795

This theorem is referenced by:  shslub 9353  osumcor2 9585  mayete3 9668

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-sh 9071  df-shsum 9268

Copyright terms: Public domain