Theorem shmods 9357

Description: The modular law holds for subspace sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70.

Hypotheses

Ref	Expression
shmod.1	|- A e. SH
shmod.2	|- B e. SH
shmod.3	|- C e. SH

Assertion

Ref	Expression
shmods	|- (A (_ C -> ((A +H B) i^i C) (_ (A +H (B i^i C)))

Proof of Theorem shmods

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubaddt 8939	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. H~ /\ x e. H~ /\ y e. H~) -> ((z -h x) = y <-> (x +h y) = z))
2		shmod.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- C e. SH
3	2	shel 9077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. C -> z e. H~)
4		shmod.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A e. SH
5	4	shel 9077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. A -> x e. H~)
6		shmod.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B e. SH
7	6	shel 9077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. B -> y e. H~)
8	1, 3, 5, 7	syl3an 870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. C /\ x e. A /\ y e. B) -> ((z -h x) = y <-> (x +h y) = z))
9		eqcom 1480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x +h y) = z <-> z = (x +h y))
10	8, 9	syl6bb 538	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. C /\ x e. A /\ y e. B) -> ((z -h x) = y <-> z = (x +h y)))
11	10	3expb 836	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. C /\ (x e. A /\ y e. B)) -> ((z -h x) = y <-> z = (x +h y)))
12	4, 2	shlesb1 9354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (A (_ C <-> (A +H C) = C)
13	12	biimp 151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (A (_ C -> (A +H C) = C)
14	13	eleq2d 1544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A (_ C -> ((z -h x) e. (A +H C) <-> (z -h x) e. C))
15	2, 4	shsvs 9331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((z e. C /\ x e. A) -> (z -h x) e. (C +H A))
16	2, 4	shscom 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (C +H A) = (A +H C)
17	15, 16	syl6eleq 1561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((z e. C /\ x e. A) -> (z -h x) e. (A +H C))
18	14, 17	syl5bi 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A (_ C -> ((z e. C /\ x e. A) -> (z -h x) e. C))
19		eleq1 1537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((z -h x) = y -> ((z -h x) e. C <-> y e. C))
20	19	biimpd 153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((z -h x) = y -> ((z -h x) e. C -> y e. C))
21	18, 20	sylan9 470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A (_ C /\ (z -h x) = y) -> ((z e. C /\ x e. A) -> y e. C))
22	21	anim2d 563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A (_ C /\ (z -h x) = y) -> ((y e. B /\ (z e. C /\ x e. A)) -> (y e. B /\ y e. C)))
23		elin 2210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. (B i^i C) <-> (y e. B /\ y e. C))
24	22, 23	syl6ibr 213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A (_ C /\ (z -h x) = y) -> ((y e. B /\ (z e. C /\ x e. A)) -> y e. (B i^i C)))
25	24	ex 373	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A (_ C -> ((z -h x) = y -> ((y e. B /\ (z e. C /\ x e. A)) -> y e. (B i^i C))))
26	25	com13 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. B /\ (z e. C /\ x e. A)) -> ((z -h x) = y -> (A (_ C -> y e. (B i^i C))))
27	26	ancoms 438	. . . . . . . . . . . 12 |- (((z e. C /\ x e. A) /\ y e. B) -> ((z -h x) = y -> (A (_ C -> y e. (B i^i C))))
28	27	anasss 442	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. C /\ (x e. A /\ y e. B)) -> ((z -h x) = y -> (A (_ C -> y e. (B i^i C))))
29	11, 28	sylbird 205	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. C /\ (x e. A /\ y e. B)) -> (z = (x +h y) -> (A (_ C -> y e. (B i^i C))))
30	29	imp 350	. . . . . . . . 9 |- (((z e. C /\ (x e. A /\ y e. B)) /\ z = (x +h y)) -> (A (_ C -> y e. (B i^i C)))
31		eleq1 1537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = (x +h y) -> (z e. (A +H (B i^i C)) <-> (x +h y) e. (A +H (B i^i C))))
32	6, 2	shincl 9326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (B i^i C) e. SH
33	4, 32	shsva 9328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. A /\ y e. (B i^i C)) -> (x +h y) e. (A +H (B i^i C)))
34	31, 33	syl5bir 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = (x +h y) -> ((x e. A /\ y e. (B i^i C)) -> z e. (A +H (B i^i C))))
35	34	exp3a 376	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = (x +h y) -> (x e. A -> (y e. (B i^i C) -> z e. (A +H (B i^i C)))))
36	35	com12 11	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. A -> (z = (x +h y) -> (y e. (B i^i C) -> z e. (A +H (B i^i C)))))
37	36	ad2antrl 408	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. C /\ (x e. A /\ y e. B)) -> (z = (x +h y) -> (y e. (B i^i C) -> z e. (A +H (B i^i C)))))
38	37	imp 350	. . . . . . . . 9 |- (((z e. C /\ (x e. A /\ y e. B)) /\ z = (x +h y)) -> (y e. (B i^i C) -> z e. (A +H (B i^i C))))
39	30, 38	syld 27	. . . . . . . 8 |- (((z e. C /\ (x e. A /\ y e. B)) /\ z = (x +h y)) -> (A (_ C -> z e. (A +H (B i^i C))))
40	39	exp31 378	. . . . . . 7 |- (z e. C -> ((x e. A /\ y e. B) -> (z = (x +h y) -> (A (_ C -> z e. (A +H (B i^i C))))))
41	40	r19.23advv 1752	. . . . . 6 |- (z e. C -> (E.x e. A E.y e. B z = (x +h y) -> (A (_ C -> z e. (A +H (B i^i C)))))
42	4, 6	shsel 9275	. . . . . 6 |- (z e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B z = (x +h y))
43	41, 42	syl5ib 206	. . . . 5 |- (z e. C -> (z e. (A +H B) -> (A (_ C -> z e. (A +H (B i^i C)))))
44	43	com13 33	. . . 4 |- (A (_ C -> (z e. (A +H B) -> (z e. C -> z e. (A +H (B i^i C)))))
45	44	imp3a 361	. . 3 |- (A (_ C -> ((z e. (A +H B) /\ z e. C) -> z e. (A +H (B i^i C))))
46		elin 2210	. . 3 |- (z e. ((A +H B) i^i C) <-> (z e. (A +H B) /\ z e. C))
47	45, 46	syl5ib 206	. 2 |- (A (_ C -> (z e. ((A +H B) i^i C) -> z e. (A +H (B i^i C))))
48	47	ssrdv 2073	1 |- (A (_ C -> ((A +H B) i^i C) (_ (A +H (B i^i C)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  E.wrex 1649   i^i cin 2049   (_ wss 2050  (class class class)co 3969  H~chil 8783   +h cva 8784   -h cmv 8787  SHcsh 8792   +H cph 8795

This theorem is referenced by:  shmod 9358

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-hvsub 8835  df-sh 9071  df-shsum 9268

Copyright terms: Public domain