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Theorem shmodsi 22874
Description: The modular law holds for subspace sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shmod.1  |-  A  e.  SH
shmod.2  |-  B  e.  SH
shmod.3  |-  C  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shmodsi  |-  ( A 
C_  C  ->  (
( A  +H  B
)  i^i  C )  C_  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) )

Proof of Theorem shmodsi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3517 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( A  +H  B )  i^i 
C )  <->  ( z  e.  ( A  +H  B
)  /\  z  e.  C ) )
2 shmod.1 . . . . . . 7  |-  A  e.  SH
3 shmod.2 . . . . . . 7  |-  B  e.  SH
42, 3shseli 22801 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  ( x  +h  y
) )
5 shmod.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C  e.  SH
65sheli 22699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  C  ->  z  e.  ~H )
72sheli 22699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ~H )
83sheli 22699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  ~H )
9 hvsubadd 22562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( z  -h  x
)  =  y  <->  ( x  +h  y )  =  z ) )
106, 7, 8, 9syl3an 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  C  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( ( z  -h  x )  =  y  <-> 
( x  +h  y
)  =  z ) )
11 eqcom 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  +h  y )  =  z  <->  z  =  ( x  +h  y
) )
1210, 11syl6bb 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  C  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( ( z  -h  x )  =  y  <-> 
z  =  ( x  +h  y ) ) )
13123expb 1154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( z  -h  x
)  =  y  <->  z  =  ( x  +h  y
) ) )
145, 2shsvsi 22852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  C  /\  x  e.  A )  ->  ( z  -h  x
)  e.  ( C  +H  A ) )
155, 2shscomi 22848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( C  +H  A )  =  ( A  +H  C
)
1614, 15syl6eleq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  C  /\  x  e.  A )  ->  ( z  -h  x
)  e.  ( A  +H  C ) )
172, 5shlesb1i 22871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A 
C_  C  <->  ( A  +H  C )  =  C )
1817biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  C  ->  ( A  +H  C )  =  C )
1918eleq2d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A 
C_  C  ->  (
( z  -h  x
)  e.  ( A  +H  C )  <->  ( z  -h  x )  e.  C
) )
2016, 19syl5ib 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
C_  C  ->  (
( z  e.  C  /\  x  e.  A
)  ->  ( z  -h  x )  e.  C
) )
21 eleq1 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  -h  x )  =  y  ->  (
( z  -h  x
)  e.  C  <->  y  e.  C ) )
2221biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  -h  x )  =  y  ->  (
( z  -h  x
)  e.  C  -> 
y  e.  C ) )
2320, 22sylan9 639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  C  /\  ( z  -h  x
)  =  y )  ->  ( ( z  e.  C  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  C ) )
2423anim2d 549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  C  /\  ( z  -h  x
)  =  y )  ->  ( ( y  e.  B  /\  (
z  e.  C  /\  x  e.  A )
)  ->  ( y  e.  B  /\  y  e.  C ) ) )
25 elin 3517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( B  i^i  C )  <->  ( y  e.  B  /\  y  e.  C ) )
2624, 25syl6ibr 219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  C  /\  ( z  -h  x
)  =  y )  ->  ( ( y  e.  B  /\  (
z  e.  C  /\  x  e.  A )
)  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
2726ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  C  ->  (
( z  -h  x
)  =  y  -> 
( ( y  e.  B  /\  ( z  e.  C  /\  x  e.  A ) )  -> 
y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
2827com13 76 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( z  e.  C  /\  x  e.  A
) )  ->  (
( z  -h  x
)  =  y  -> 
( A  C_  C  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
2928ancoms 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  C  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  (
( z  -h  x
)  =  y  -> 
( A  C_  C  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
3029anasss 629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( z  -h  x
)  =  y  -> 
( A  C_  C  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
3113, 30sylbird 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )  ->  (
z  =  ( x  +h  y )  -> 
( A  C_  C  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
3231imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  C  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )  /\  z  =  ( x  +h  y ) )  -> 
( A  C_  C  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
333, 5shincli 22847 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  i^i  C )  e.  SH
342, 33shsvai 22849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  ( B  i^i  C ) )  -> 
( x  +h  y
)  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) )
35 eleq1 2490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( x  +h  y )  ->  (
z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) )  <->  ( x  +h  y )  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) )
3634, 35syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( x  +h  y )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) )
3736exp3a 426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x  +h  y )  ->  (
x  e.  A  -> 
( y  e.  ( B  i^i  C )  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
3837com12 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
z  =  ( x  +h  y )  -> 
( y  e.  ( B  i^i  C )  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
3938ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )  ->  (
z  =  ( x  +h  y )  -> 
( y  e.  ( B  i^i  C )  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
4039imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  C  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )  /\  z  =  ( x  +h  y ) )  -> 
( y  e.  ( B  i^i  C )  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) )
4132, 40syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  C  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )  /\  z  =  ( x  +h  y ) )  -> 
( A  C_  C  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) )
4241exp31 588 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  C  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( z  =  ( x  +h  y )  ->  ( A  C_  C  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) ) ) )
4342rexlimdvv 2823 . . . . . 6  |-  ( z  e.  C  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  ( x  +h  y )  ->  ( A  C_  C  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
444, 43syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( z  e.  C  ->  (
z  e.  ( A  +H  B )  -> 
( A  C_  C  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
4544com13 76 . . . 4  |-  ( A 
C_  C  ->  (
z  e.  ( A  +H  B )  -> 
( z  e.  C  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
4645imp3a 421 . . 3  |-  ( A 
C_  C  ->  (
( z  e.  ( A  +H  B )  /\  z  e.  C
)  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) )
471, 46syl5bi 209 . 2  |-  ( A 
C_  C  ->  (
z  e.  ( ( A  +H  B )  i^i  C )  -> 
z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) )
4847ssrdv 3341 1  |-  ( A 
C_  C  ->  (
( A  +H  B
)  i^i  C )  C_  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2693    i^i cin 3306    C_ wss 3307  (class class class)co 6067   ~Hchil 22405    +h cva 22406    -h cmv 22411   SHcsh 22414    +H cph 22417
This theorem is referenced by:  shmodi  22875
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-hilex 22485  ax-hfvadd 22486  ax-hvcom 22487  ax-hvass 22488  ax-hv0cl 22489  ax-hvaddid 22490  ax-hfvmul 22491  ax-hvmulid 22492  ax-hvdistr1 22494  ax-hvdistr2 22495  ax-hvmul0 22496
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-er 6891  df-map 7006  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-ltxr 9109  df-sub 9277  df-neg 9278  df-nn 9985  df-grpo 21762  df-ablo 21853  df-hvsub 22457  df-hlim 22458  df-sh 22692  df-ch 22707  df-shs 22793
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