Theorem shsclt 9282

Description: Closure of subspace sum.

Assertion

Ref	Expression
shsclt	|- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A +H B) e. SH)

Proof of Theorem shsclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3968	. . 3 |- (A = if(A e. SH, A, H~) -> (A +H B) = (if(A e. SH, A, H~) +H B))
2	1	eleq1d 1540	. 2 |- (A = if(A e. SH, A, H~) -> ((A +H B) e. SH <-> (if(A e. SH, A, H~) +H B) e. SH))
3		opreq2 3969	. . 3 |- (B = if(B e. SH, B, H~) -> (if(A e. SH, A, H~) +H B) = (if(A e. SH, A, H~) +H if(B e. SH, B, H~)))
4	3	eleq1d 1540	. 2 |- (B = if(B e. SH, B, H~) -> ((if(A e. SH, A, H~) +H B) e. SH <-> (if(A e. SH, A, H~) +H if(B e. SH, B, H~)) e. SH))
5		helsh 9117	. . . 4 |- H~ e. SH
6	5	elimel 2394	. . 3 |- if(A e. SH, A, H~) e. SH
7	5	elimel 2394	. . 3 |- if(B e. SH, B, H~) e. SH
8	6, 7	shscl 9281	. 2 |- (if(A e. SH, A, H~) +H if(B e. SH, B, H~)) e. SH
9	2, 4, 8	dedth2h 2387	1 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A +H B) e. SH)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  ifcif 2361  (class class class)co 3963  H~chil 8788  SHcsh 8797   +H cph 8800

This theorem is referenced by:  shsvst 9287  spanpr 9503

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvdistr1 8878

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-hlim 8841  df-sh 9076  df-ch 9092  df-shsum 9273

Copyright terms: Public domain