Theorem shscomt 9198

Description: Commutative law for subspace sum.

Assertion

Ref	Expression
shscomt	|- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A +H B) = (B +H A))

Proof of Theorem shscomt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shelt 9001	. . . . . . . . 9 |- ((A e. SH /\ y e. A) -> y e. H~)
2		shelt 9001	. . . . . . . . 9 |- ((B e. SH /\ z e. B) -> z e. H~)
3	1, 2	anim12i 333	. . . . . . . 8 |- (((A e. SH /\ y e. A) /\ (B e. SH /\ z e. B)) -> (y e. H~ /\ z e. H~))
4	3	an4s 507	. . . . . . 7 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ (y e. A /\ z e. B)) -> (y e. H~ /\ z e. H~))
5		ax-hvcom 8792	. . . . . . 7 |- ((y e. H~ /\ z e. H~) -> (y +h z) = (z +h y))
6	4, 5	syl 10	. . . . . 6 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ (y e. A /\ z e. B)) -> (y +h z) = (z +h y))
7	6	eqeq2d 1478	. . . . 5 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ (y e. A /\ z e. B)) -> (x = (y +h z) <-> x = (z +h y)))
8	7	2rexbidva 1671	. . . 4 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (E.y e. A E.z e. B x = (y +h z) <-> E.y e. A E.z e. B x = (z +h y)))
9		rexcom 1767	. . . 4 |- (E.y e. A E.z e. B x = (z +h y) <-> E.z e. B E.y e. A x = (z +h y))
10	8, 9	syl6bb 534	. . 3 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (E.y e. A E.z e. B x = (y +h z) <-> E.z e. B E.y e. A x = (z +h y)))
11		shselt 9193	. . 3 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (x e. (A +H B) <-> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)))
12		shselt 9193	. . . 4 |- ((B e. SH /\ A e. SH) -> (x e. (B +H A) <-> E.z e. B E.y e. A x = (z +h y)))
13	12	ancoms 436	. . 3 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (x e. (B +H A) <-> E.z e. B E.y e. A x = (z +h y)))
14	10, 11, 13	3bitr4d 548	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (x e. (A +H B) <-> x e. (B +H A)))
15	14	eqrdv 1466	1 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A +H B) = (B +H A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wrex 1638  (class class class)co 3948  H~chil 8727   +h cva 8728  SHcsh 8736   +H cph 8739

This theorem is referenced by:  shsel2t 9201  shsub2t 9204  shscom 9247

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-sh 8997  df-shsum 9188

Copyright terms: Public domain