Theorem shsel 9275

Description: Membership in subspace sum.

Hypotheses

Ref	Expression
shscl.1	|- A e. SH
shscl.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
shsel	|- (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +h y))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem shsel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shscl.1	. 2 |- A e. SH
2		shscl.2	. 2 |- B e. SH
3		shselt 9273	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +h y)))
4	1, 2, 3	mp2an 699	1 |- (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +h y))

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 958   e. wcel 960  E.wrex 1649  (class class class)co 3969   +h cva 8784  SHcsh 8792   +H cph 8795

This theorem is referenced by:  shscl 9276  shunss 9332  shslej 9333  shless 9342  shsidm 9352  shmods 9357  chsel 9377  spanun 9462  spanunsn 9497  osumlem5 9577  5oalem7 9600  pjjs 9640  cdjreu 10354  cdj3lem2a 10358  cdj3lem3a 10361

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-sh 9071  df-shsum 9268

Copyright terms: Public domain