Theorem shsel1t 9280

Description: A subspace sum contains a member of one of its subspaces.

Assertion

Ref	Expression
shsel1t	|- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. A -> C e. (A +H B)))

Proof of Theorem shsel1t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shelt 9075	. . . . 5 |- ((A e. SH /\ C e. A) -> C e. H~)
2		ax-hvaddid 8869	. . . . 5 |- (C e. H~ -> (C +h 0h) = C)
3	1, 2	syl 10	. . . 4 |- ((A e. SH /\ C e. A) -> (C +h 0h) = C)
4	3	adantlr 395	. . 3 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ C e. A) -> (C +h 0h) = C)
5		sh0 9079	. . . . . 6 |- (B e. SH -> 0h e. B)
6	5	adantl 390	. . . . 5 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> 0h e. B)
7		shsvat 9279	. . . . 5 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> ((C e. A /\ 0h e. B) -> (C +h 0h) e. (A +H B)))
8	6, 7	mpan2d 704	. . . 4 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. A -> (C +h 0h) e. (A +H B)))
9	8	imp 350	. . 3 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ C e. A) -> (C +h 0h) e. (A +H B))
10	4, 9	eqeltrrd 1552	. 2 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ C e. A) -> C e. (A +H B))
11	10	ex 373	1 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. A -> C e. (A +H B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  (class class class)co 3969  H~chil 8783   +h cva 8784  0hc0v 8786  SHcsh 8792   +H cph 8795

This theorem is referenced by:  shsel2t 9281  shsvst 9282  shsub1t 9283  shsel1 9329

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvaddid 8869

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-sh 9071  df-shsum 9268

Copyright terms: Public domain