Theorem shsel3t 9274

Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces, using vector subtraction.

Assertion

Ref	Expression
shsel3t	|- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x -h y)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem shsel3t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shselt 9273	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.z e. B C = (x +h z)))
2		id 59	. . . . . . . 8 |- (C = (x +h z) -> C = (x +h z))
3		hvaddsubvalt 8897	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. H~ /\ z e. H~) -> (x +h z) = (x -h (-u1 .h z)))
4		shelt 9075	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. SH /\ x e. A) -> x e. H~)
5		shelt 9075	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. SH /\ z e. B) -> z e. H~)
6	3, 4, 5	syl2an 456	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. SH /\ x e. A) /\ (B e. SH /\ z e. B)) -> (x +h z) = (x -h (-u1 .h z)))
7	6	an4s 510	. . . . . . . . 9 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ (x e. A /\ z e. B)) -> (x +h z) = (x -h (-u1 .h z)))
8	7	anassrs 443	. . . . . . . 8 |- ((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ z e. B) -> (x +h z) = (x -h (-u1 .h z)))
9	2, 8	sylan9eqr 1532	. . . . . . 7 |- (((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ z e. B) /\ C = (x +h z)) -> C = (x -h (-u1 .h z)))
10		opreq2 3975	. . . . . . . . . 10 |- (y = (-u1 .h z) -> (x -h y) = (x -h (-u1 .h z)))
11	10	eqeq2d 1489	. . . . . . . . 9 |- (y = (-u1 .h z) -> (C = (x -h y) <-> C = (x -h (-u1 .h z))))
12	11	rcla4ev 1880	. . . . . . . 8 |- (((-u1 .h z) e. B /\ C = (x -h (-u1 .h z))) -> E.y e. B C = (x -h y))
13		ax1cn 5281	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
14	13	negcl 5381	. . . . . . . . . . 11 |- -u1 e. CC
15		shmulclt 9082	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. SH /\ -u1 e. CC /\ z e. B) -> (-u1 .h z) e. B)
16	14, 15	mp3an2 906	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. SH /\ z e. B) -> (-u1 .h z) e. B)
17	16	adantll 394	. . . . . . . . 9 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ z e. B) -> (-u1 .h z) e. B)
18	17	adantlr 395	. . . . . . . 8 |- ((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ z e. B) -> (-u1 .h z) e. B)
19	12, 18	sylan 450	. . . . . . 7 |- (((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ z e. B) /\ C = (x -h (-u1 .h z))) -> E.y e. B C = (x -h y))
20	9, 19	syldan 469	. . . . . 6 |- (((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ z e. B) /\ C = (x +h z)) -> E.y e. B C = (x -h y))
21	20	ex 373	. . . . 5 |- ((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ z e. B) -> (C = (x +h z) -> E.y e. B C = (x -h y)))
22	21	r19.23adva 1750	. . . 4 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) -> (E.z e. B C = (x +h z) -> E.y e. B C = (x -h y)))
23		id 59	. . . . . . . 8 |- (C = (x -h y) -> C = (x -h y))
24		hvsubvalt 8881	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x -h y) = (x +h (-u1 .h y)))
25		shelt 9075	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. SH /\ y e. B) -> y e. H~)
26	24, 4, 25	syl2an 456	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. SH /\ x e. A) /\ (B e. SH /\ y e. B)) -> (x -h y) = (x +h (-u1 .h y)))
27	26	an4s 510	. . . . . . . . 9 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ (x e. A /\ y e. B)) -> (x -h y) = (x +h (-u1 .h y)))
28	27	anassrs 443	. . . . . . . 8 |- ((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ y e. B) -> (x -h y) = (x +h (-u1 .h y)))
29	23, 28	sylan9eqr 1532	. . . . . . 7 |- (((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ y e. B) /\ C = (x -h y)) -> C = (x +h (-u1 .h y)))
30		opreq2 3975	. . . . . . . . . 10 |- (z = (-u1 .h y) -> (x +h z) = (x +h (-u1 .h y)))
31	30	eqeq2d 1489	. . . . . . . . 9 |- (z = (-u1 .h y) -> (C = (x +h z) <-> C = (x +h (-u1 .h y))))
32	31	rcla4ev 1880	. . . . . . . 8 |- (((-u1 .h y) e. B /\ C = (x +h (-u1 .h y))) -> E.z e. B C = (x +h z))
33		shmulclt 9082	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. SH /\ -u1 e. CC /\ y e. B) -> (-u1 .h y) e. B)
34	14, 33	mp3an2 906	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. SH /\ y e. B) -> (-u1 .h y) e. B)
35	34	adantll 394	. . . . . . . . 9 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ y e. B) -> (-u1 .h y) e. B)
36	35	adantlr 395	. . . . . . . 8 |- ((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ y e. B) -> (-u1 .h y) e. B)
37	32, 36	sylan 450	. . . . . . 7 |- (((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ y e. B) /\ C = (x +h (-u1 .h y))) -> E.z e. B C = (x +h z))
38	29, 37	syldan 469	. . . . . 6 |- (((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ y e. B) /\ C = (x -h y)) -> E.z e. B C = (x +h z))
39	38	ex 373	. . . . 5 |- ((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ y e. B) -> (C = (x -h y) -> E.z e. B C = (x +h z)))
40	39	r19.23adva 1750	. . . 4 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) -> (E.y e. B C = (x -h y) -> E.z e. B C = (x +h z)))
41	22, 40	impbid 518	. . 3 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) -> (E.z e. B C = (x +h z) <-> E.y e. B C = (x -h y)))
42	41	rexbidva 1663	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (E.x e. A E.z e. B C = (x +h z) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x -h y)))
43	1, 42	bitrd 530	1 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x -h y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wrex 1649  (class class class)co 3969  CCcc 5244  1c1 5247  -ucneg 5305  H~chil 8783   +h cva 8784   .h csm 8785   -h cmv 8787  SHcsh 8792   +H cph 8795

This theorem is referenced by:  pjima 10099

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-hvsub 8835  df-sh 9071  df-shsum 9268

Copyright terms: Public domain