Theorem shselt 9193

Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces.

Assertion

Ref	Expression
shselt	|- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +h y)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem shselt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsumvalt 9192	. . . 4 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A +H B) = {z e. H~ | E.x e. A E.y e. B z = (x +h y)})
2	1	eleq2d 1533	. . 3 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> C e. {z e. H~ | E.x e. A E.y e. B z = (x +h y)}))
3		eqeq1 1473	. . . . 5 |- (z = C -> (z = (x +h y) <-> C = (x +h y)))
4	3	2rexbidv 1673	. . . 4 |- (z = C -> (E.x e. A E.y e. B z = (x +h y) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +h y)))
5	4	elrab 1896	. . 3 |- (C e. {z e. H~ | E.x e. A E.y e. B z = (x +h y)} <-> (C e. H~ /\ E.x e. A E.y e. B C = (x +h y)))
6	2, 5	syl6bb 534	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> (C e. H~ /\ E.x e. A E.y e. B C = (x +h y))))
7		shss 9000	. . . . . . 7 |- (A e. SH -> A (_ H~)
8	7	sseld 2057	. . . . . 6 |- (A e. SH -> (x e. A -> x e. H~))
9		shss 9000	. . . . . . 7 |- (B e. SH -> B (_ H~)
10	9	sseld 2057	. . . . . 6 |- (B e. SH -> (y e. B -> y e. H~))
11	8, 10	im2anan9 561	. . . . 5 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> ((x e. A /\ y e. B) -> (x e. H~ /\ y e. H~)))
12		hvaddclt 8803	. . . . . 6 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x +h y) e. H~)
13		eleq1a 1535	. . . . . 6 |- ((x +h y) e. H~ -> (C = (x +h y) -> C e. H~))
14	12, 13	syl 10	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (C = (x +h y) -> C e. H~))
15	11, 14	syl6 22	. . . 4 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> ((x e. A /\ y e. B) -> (C = (x +h y) -> C e. H~)))
16	15	r19.23advv 1741	. . 3 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (E.x e. A E.y e. B C = (x +h y) -> C e. H~))
17	16	pm4.71rd 637	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (E.x e. A E.y e. B C = (x +h y) <-> (C e. H~ /\ E.x e. A E.y e. B C = (x +h y))))
18	6, 17	bitr4d 529	1 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +h y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wrex 1638  {crab 1640  (class class class)co 3948  H~chil 8727   +h cva 8728  SHcsh 8736   +H cph 8739

This theorem is referenced by:  shsel3t 9194  shsel 9195  shscomt 9198  shsvat 9199  sumdmdi 10249  sumdmdlem 10252

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-sh 8997  df-shsum 9188

Copyright terms: Public domain