Theorem shsspwh 9113

Description: Subspaces are subsets of Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
shsspwh	|- SH (_ P~H~

Proof of Theorem shsspwh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwuni 2763	. 2 |- SH (_ P~U.SH
2		helsh 9112	. . . 4 |- H~ e. SH
3		shss 9074	. . . . 5 |- (x e. SH -> x (_ H~)
4	3	rgen 1701	. . . 4 |- A.x e. SH x (_ H~
5		ssunieq 2535	. . . 4 |- ((H~ e. SH /\ A.x e. SH x (_ H~) -> H~ = U.SH)
6	2, 4, 5	mp2an 699	. . 3 |- H~ = U.SH
7		pweq 2407	. . 3 |- (H~ = U.SH -> P~H~ = P~U.SH)
8	6, 7	ax-mp 7	. 2 |- P~H~ = P~U.SH
9	1, 8	sseqtr4 2097	1 |- SH (_ P~H~

Syntax hints:   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648   (_ wss 2050  P~cpw 2405  U.cuni 2507  H~chil 8783  SHcsh 8792

This theorem is referenced by:  chsspwh 9114  shsupunss 9310

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hv0cl 8868  ax-hfvmul 8870

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-hlim 8836  df-sh 9071  df-ch 9087

Copyright terms: Public domain