Theorem shsumvalt 9192

Description: Value of subspace sum of two Hilbert space subspaces. Definition of subspace sum in [Kalmbach] p. 65.

Assertion

Ref	Expression
shsumvalt	|- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A +H B) = {x e. H~ | E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)})

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem shsumvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 8790	. . 3 |- H~ e. V
2	1	rabex 2715	. 2 |- {x e. H~ | E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)} e. V
3		rexeq1 1779	. . 3 |- (w = A -> (E.y e. w E.z e. v x = (y +h z) <-> E.y e. A E.z e. v x = (y +h z)))
4	3	rabbisdv 1798	. 2 |- (w = A -> {x e. H~ | E.y e. w E.z e. v x = (y +h z)} = {x e. H~ | E.y e. A E.z e. v x = (y +h z)})
5		rexeq1 1779	. . . 4 |- (v = B -> (E.z e. v x = (y +h z) <-> E.z e. B x = (y +h z)))
6	5	rexbidv 1656	. . 3 |- (v = B -> (E.y e. A E.z e. v x = (y +h z) <-> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)))
7	6	rabbisdv 1798	. 2 |- (v = B -> {x e. H~ | E.y e. A E.z e. v x = (y +h z)} = {x e. H~ | E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)})
8		df-shsum 9188	. 2 |- +H = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. SH /\ v e. SH) /\ u = {x e. H~ | E.y e. w E.z e. v x = (y +h z)})}
9	2, 4, 7, 8	oprabval2 4013	1 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A +H B) = {x e. H~ | E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wrex 1638  {crab 1640  (class class class)co 3948  H~chil 8727   +h cva 8728  SHcsh 8736   +H cph 8739

This theorem is referenced by:  shselt 9193  shscl 9196

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-hilex 8790

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-shsum 9188

Copyright terms: Public domain