Theorem shsupunss 9310

Description: The union of a set of subspaces is smaller than its supremum.

Assertion

Ref	Expression
shsupunss	|- (A (_ SH -> U.A (_ (span` U.A))

Proof of Theorem shsupunss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsspwh 9113	. . . . 5 |- SH (_ P~H~
2		sstr 2075	. . . . 5 |- ((A (_ SH /\ SH (_ P~H~) -> A (_ P~H~)
3	1, 2	mpan2 698	. . . 4 |- (A (_ SH -> A (_ P~H~)
4		uniss 2525	. . . 4 |- (A (_ P~H~ -> U.A (_ U.P~H~)
5	3, 4	syl 10	. . 3 |- (A (_ SH -> U.A (_ U.P~H~)
6		unipw 2762	. . 3 |- U.P~H~ = H~
7	5, 6	syl6ss 2110	. 2 |- (A (_ SH -> U.A (_ H~)
8		spanss2 9309	. 2 |- (U.A (_ H~ -> U.A (_ (span` U.A))
9	7, 8	syl 10	1 |- (A (_ SH -> U.A (_ (span` U.A))

Syntax hints:   -> wi 3   (_ wss 2050  P~cpw 2405  U.cuni 2507  ` cfv 3188  H~chil 8783  SHcsh 8792  spancspn 8796

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hv0cl 8868  ax-hfvmul 8870

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-hlim 8836  df-sh 9071  df-ch 9087  df-span 9269

Copyright terms: Public domain