HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsval Unicode version

Theorem shsval 21721
Description: Value of subspace sum of two Hilbert space subspaces. Definition of subspace sum in [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 16-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsval  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  =  (  +h  " ( A  X.  B ) ) )

Proof of Theorem shsval
StepHypRef Expression
1 xpeq12 4615 . . 3  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( x  X.  y
)  =  ( A  X.  B ) )
21imaeq2d 4919 . 2  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  (  +h  " (
x  X.  y ) )  =  (  +h  " ( A  X.  B ) ) )
3 df-shs 21717 . 2  |-  +H  =  ( x  e.  SH ,  y  e.  SH  |->  (  +h  " ( x  X.  y ) ) )
4 hilablo 21569 . . 3  |-  +h  e.  AbelOp
5 imaexg 4933 . . 3  |-  (  +h  e.  AbelOp  ->  (  +h  " ( A  X.  B ) )  e.  _V )
64, 5ax-mp 10 . 2  |-  (  +h  " ( A  X.  B ) )  e. 
_V
72, 3, 6ovmpt2a 5830 1  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  =  (  +h  " ( A  X.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2727    X. cxp 4578   "cima 4583  (class class class)co 5710   AbelOpcablo 20778    +h cva 21330   SHcsh 21338    +H cph 21341
This theorem is referenced by:  shsss  21722  shsel  21723
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-hilex 21409  ax-hfvadd 21410  ax-hvcom 21411  ax-hvass 21412  ax-hv0cl 21413  ax-hvaddid 21414  ax-hfvmul 21415  ax-hvmulid 21416  ax-hvdistr2 21419  ax-hvmul0 21420
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-ltxr 8752  df-sub 8919  df-neg 8920  df-grpo 20688  df-ablo 20779  df-hvsub 21381  df-shs 21717
  Copyright terms: Public domain W3C validator