Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shuni Unicode version

Theorem shuni 22650
 Description: Two subspaces with trivial intersection have a unique decomposition of the elements of the subspace sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shuni.1
shuni.2
shuni.3
shuni.4
shuni.5
shuni.6
shuni.7
shuni.8
Assertion
Ref Expression
shuni

Proof of Theorem shuni
StepHypRef Expression
1 shuni.1 . . . . . . 7
2 shuni.4 . . . . . . 7
3 shuni.6 . . . . . . 7
4 shsubcl 22571 . . . . . . 7
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 . . . . . 6
6 shuni.8 . . . . . . . 8
7 shel 22561 . . . . . . . . . 10
81, 2, 7syl2anc 643 . . . . . . . . 9
9 shuni.2 . . . . . . . . . 10
10 shuni.5 . . . . . . . . . 10
11 shel 22561 . . . . . . . . . 10
129, 10, 11syl2anc 643 . . . . . . . . 9
13 shel 22561 . . . . . . . . . 10
141, 3, 13syl2anc 643 . . . . . . . . 9
15 shuni.7 . . . . . . . . . 10
16 shel 22561 . . . . . . . . . 10
179, 15, 16syl2anc 643 . . . . . . . . 9
18 hvaddsub4 22428 . . . . . . . . 9
198, 12, 14, 17, 18syl22anc 1185 . . . . . . . 8
206, 19mpbid 202 . . . . . . 7
21 shsubcl 22571 . . . . . . . 8
229, 15, 10, 21syl3anc 1184 . . . . . . 7
2320, 22eqeltrd 2461 . . . . . 6
24 elin 3473 . . . . . 6
255, 23, 24sylanbrc 646 . . . . 5
26 shuni.3 . . . . 5
2725, 26eleqtrd 2463 . . . 4
28 elch0 22604 . . . 4
2927, 28sylib 189 . . 3
30 hvsubeq0 22418 . . . 4
318, 14, 30syl2anc 643 . . 3
3229, 31mpbid 202 . 2
3320, 29eqtr3d 2421 . . . 4
34 hvsubeq0 22418 . . . . 5
3517, 12, 34syl2anc 643 . . . 4
3633, 35mpbid 202 . . 3
3736eqcomd 2392 . 2
3832, 37jca 519 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1717   cin 3262  (class class class)co 6020  chil 22270   cva 22271  c0v 22275   cmv 22276  csh 22279  c0h 22286 This theorem is referenced by:  chocunii  22651  pjhthmo  22652  chscllem3  22989 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-hilex 22350  ax-hfvadd 22351  ax-hvcom 22352  ax-hvass 22353  ax-hv0cl 22354  ax-hvaddid 22355  ax-hfvmul 22356  ax-hvmulid 22357  ax-hvmulass 22358  ax-hvdistr1 22359  ax-hvdistr2 22360  ax-hvmul0 22361 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-hvsub 22322  df-sh 22557  df-ch0 22603
 Copyright terms: Public domain W3C validator