Theorem shunss 9275

Description: Union is smaller than subspace sum.

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	|- A e. SH
shincl.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
shunss	|- (A u. B) (_ (A +H B)

Proof of Theorem shunss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . . . . 7 |- A e. SH
2	1	shel 9021	. . . . . 6 |- (x e. A -> x e. H~)
3		ax-hvaddid 8813	. . . . . . 7 |- (x e. H~ -> (x +h 0h) = x)
4	3	eqcomd 1477	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> x = (x +h 0h))
5	2, 4	syl 10	. . . . 5 |- (x e. A -> x = (x +h 0h))
6		shincl.2	. . . . . . 7 |- B e. SH
7		sh0 9023	. . . . . . 7 |- (B e. SH -> 0h e. B)
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 0h e. B
9		rcla4eopr 3981	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ 0h e. B /\ x = (x +h 0h)) -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
10	8, 9	mp3an2 902	. . . . 5 |- ((x e. A /\ x = (x +h 0h)) -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
11	5, 10	mpdan 703	. . . 4 |- (x e. A -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
12	6	shel 9021	. . . . . 6 |- (x e. B -> x e. H~)
13		hvaddid2t 8831	. . . . . . 7 |- (x e. H~ -> (0h +h x) = x)
14	13	eqcomd 1477	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> x = (0h +h x))
15	12, 14	syl 10	. . . . 5 |- (x e. B -> x = (0h +h x))
16		sh0 9023	. . . . . . 7 |- (A e. SH -> 0h e. A)
17	1, 16	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 0h e. A
18		rcla4eopr 3981	. . . . . 6 |- ((0h e. A /\ x e. B /\ x = (0h +h x)) -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
19	17, 18	mp3an1 901	. . . . 5 |- ((x e. B /\ x = (0h +h x)) -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
20	15, 19	mpdan 703	. . . 4 |- (x e. B -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
21	11, 20	jaoi 341	. . 3 |- ((x e. A \/ x e. B) -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
22		elun 2169	. . 3 |- (x e. (A u. B) <-> (x e. A \/ x e. B))
23	1, 6	shsel 9218	. . 3 |- (x e. (A +H B) <-> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
24	21, 22, 23	3imtr4 219	. 2 |- (x e. (A u. B) -> x e. (A +H B))
25	24	ssriv 2065	1 |- (A u. B) (_ (A +H B)

Syntax hints:   \/ wo 222   = wceq 954   e. wcel 956  E.wrex 1643   u. cun 2041   (_ wss 2043  (class class class)co 3954  H~chil 8727   +h cva 8728  0hc0v 8730  SHcsh 8736   +H cph 8739

This theorem is referenced by:  shunssj 9277  shsumval2 9298  shjshs 9353  spanun 9405  osum 9526

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hvcom 8810  ax-hv0cl 8812  ax-hvaddid 8813

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-sh 9015  df-shsum 9211

Copyright terms: Public domain