Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaclcu2 Structured version   Unicode version

Theorem sigaclcu2 24508
Description: A sigma-algebra is closed under countable union - indexing on 
NN (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaclcu2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  A  e.  S
)
Distinct variable group:    S, k
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem sigaclcu2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun2g 4125 . . 3  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  S  ->  U_ k  e.  NN  A  =  U. { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A } )
21adantl 454 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  A  =  U. { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A } )
3 simpl 445 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
4 abid 2426 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  <->  E. k  e.  NN  x  =  A )
5 eleq1a 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  S  ->  (
x  =  A  ->  x  e.  S )
)
65ralimi 2783 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  S  ->  A. k  e.  NN  ( x  =  A  ->  x  e.  S ) )
7 r19.23v 2824 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN  (
x  =  A  ->  x  e.  S )  <->  ( E. k  e.  NN  x  =  A  ->  x  e.  S ) )
86, 7sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  S  ->  ( E. k  e.  NN  x  =  A  ->  x  e.  S ) )
98imp 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  NN  A  e.  S  /\  E. k  e.  NN  x  =  A )  ->  x  e.  S )
109adantll 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  /\  E. k  e.  NN  x  =  A )  ->  x  e.  S )
114, 10sylan2b 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  /\  x  e.  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }
)  ->  x  e.  S )
1211ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  A. x  e.  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A } x  e.  S )
13 nfab1 2576 . . . . . 6  |-  F/_ x { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }
14 nfcv 2574 . . . . . 6  |-  F/_ x S
1513, 14dfss3f 3342 . . . . 5  |-  ( { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  C_  S  <->  A. x  e.  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A } x  e.  S )
1612, 15sylibr 205 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  C_  S )
17 elpw2g 4366 . . . . 5  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  ~P S 
<->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  C_  S
) )
1817adantr 453 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  ( { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  ~P S 
<->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  C_  S
) )
1916, 18mpbird 225 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  ~P S )
20 nnct 24104 . . . 4  |-  NN  ~<_  om
21 abrexct 24116 . . . 4  |-  ( NN  ~<_  om  ->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  ~<_  om )
2220, 21mp1i 12 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  ~<_  om )
23 sigaclcu 24505 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  ~P S  /\  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  ~<_  om )  ->  U. { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  S )
243, 19, 22, 23syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  U. {
x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  S )
252, 24eqeltrd 2512 1  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  A  e.  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   U_ciun 4095   class class class wbr 4215   omcom 4848   ran crn 4882    ~<_ cdom 7110   NNcn 10005  sigAlgebracsiga 24495
This theorem is referenced by:  sigaclfu2  24509  sigaclcu3  24510  measiun  24577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-card 7831  df-acn 7834  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-siga 24496
  Copyright terms: Public domain W3C validator