Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaclcu2 Unicode version

Theorem sigaclcu2 23496
Description: A sigma-algebra is closed under countable union - indexing on 
NN (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaclcu2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  A  e.  S
)
Distinct variable group:    S, k
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem sigaclcu2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun2g 3951 . . 3  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  S  ->  U_ k  e.  NN  A  =  U. { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A } )
21adantl 452 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  A  =  U. { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A } )
3 simpl 443 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
4 abid 2284 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  <->  E. k  e.  NN  x  =  A )
5 eleq1a 2365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  S  ->  (
x  =  A  ->  x  e.  S )
)
65ralimi 2631 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  S  ->  A. k  e.  NN  ( x  =  A  ->  x  e.  S ) )
7 r19.23v 2672 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN  (
x  =  A  ->  x  e.  S )  <->  ( E. k  e.  NN  x  =  A  ->  x  e.  S ) )
86, 7sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  S  ->  ( E. k  e.  NN  x  =  A  ->  x  e.  S ) )
98imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  NN  A  e.  S  /\  E. k  e.  NN  x  =  A )  ->  x  e.  S )
109adantll 694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  /\  E. k  e.  NN  x  =  A )  ->  x  e.  S )
114, 10sylan2b 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  /\  x  e.  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }
)  ->  x  e.  S )
1211ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  A. x  e.  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A } x  e.  S )
13 nfab1 2434 . . . . . 6  |-  F/_ x { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }
14 nfcv 2432 . . . . . 6  |-  F/_ x S
1513, 14dfss3f 3185 . . . . 5  |-  ( { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  C_  S  <->  A. x  e.  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A } x  e.  S )
1612, 15sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  C_  S )
17 elpw2g 4190 . . . . 5  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  ~P S 
<->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  C_  S
) )
183, 17syl 15 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  ( { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  ~P S 
<->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  C_  S
) )
1916, 18mpbird 223 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  ~P S )
20 nnct 23350 . . . 4  |-  NN  ~<_  om
21 abrexct 23362 . . . 4  |-  ( NN  ~<_  om  ->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  ~<_  om )
2220, 21mp1i 11 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  ~<_  om )
23 sigaclcu 23493 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  ~P S  /\  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  ~<_  om )  ->  U. { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  S )
243, 19, 22, 23syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  U. {
x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  S )
252, 24eqeltrd 2370 1  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  A  e.  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   U_ciun 3921   class class class wbr 4039   omcom 4672   ran crn 4706    ~<_ cdom 6877   NNcn 9762  sigAlgebracsiga 23483
This theorem is referenced by:  sigaclfu2  23497  sigaclcu3  23498  measiun  23560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-ac2 8105  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-ac 7759  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-siga 23484
  Copyright terms: Public domain W3C validator