Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaclcu2 Unicode version

Theorem sigaclcu2 24491
Description: A sigma-algebra is closed under countable union - indexing on 
NN (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaclcu2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  A  e.  S
)
Distinct variable group:    S, k
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem sigaclcu2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun2g 4115 . . 3  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  S  ->  U_ k  e.  NN  A  =  U. { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A } )
21adantl 453 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  A  =  U. { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A } )
3 simpl 444 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
4 abid 2423 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  <->  E. k  e.  NN  x  =  A )
5 eleq1a 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  S  ->  (
x  =  A  ->  x  e.  S )
)
65ralimi 2773 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  S  ->  A. k  e.  NN  ( x  =  A  ->  x  e.  S ) )
7 r19.23v 2814 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN  (
x  =  A  ->  x  e.  S )  <->  ( E. k  e.  NN  x  =  A  ->  x  e.  S ) )
86, 7sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  S  ->  ( E. k  e.  NN  x  =  A  ->  x  e.  S ) )
98imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  NN  A  e.  S  /\  E. k  e.  NN  x  =  A )  ->  x  e.  S )
109adantll 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  /\  E. k  e.  NN  x  =  A )  ->  x  e.  S )
114, 10sylan2b 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  /\  x  e.  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }
)  ->  x  e.  S )
1211ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  A. x  e.  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A } x  e.  S )
13 nfab1 2573 . . . . . 6  |-  F/_ x { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }
14 nfcv 2571 . . . . . 6  |-  F/_ x S
1513, 14dfss3f 3332 . . . . 5  |-  ( { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  C_  S  <->  A. x  e.  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A } x  e.  S )
1612, 15sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  C_  S )
17 elpw2g 4355 . . . . 5  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  ~P S 
<->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  C_  S
) )
1817adantr 452 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  ( { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  ~P S 
<->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  C_  S
) )
1916, 18mpbird 224 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  ~P S )
20 nnct 24087 . . . 4  |-  NN  ~<_  om
21 abrexct 24099 . . . 4  |-  ( NN  ~<_  om  ->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  ~<_  om )
2220, 21mp1i 12 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  ~<_  om )
23 sigaclcu 24488 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  ~P S  /\  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  ~<_  om )  ->  U. { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  S )
243, 19, 22, 23syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  U. {
x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  S )
252, 24eqeltrd 2509 1  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  A  e.  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   U_ciun 4085   class class class wbr 4204   omcom 4836   ran crn 4870    ~<_ cdom 7098   NNcn 9989  sigAlgebracsiga 24478
This theorem is referenced by:  sigaclfu2  24492  sigaclcu3  24493  measiun  24560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-card 7815  df-acn 7818  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-siga 24479
  Copyright terms: Public domain W3C validator