Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaclcu2 Unicode version

Theorem sigaclcu2 24292
Description: A sigma-algebra is closed under countable union - indexing on 
NN (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaclcu2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  A  e.  S
)
Distinct variable group:    S, k
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem sigaclcu2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun2g 4058 . . 3  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  S  ->  U_ k  e.  NN  A  =  U. { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A } )
21adantl 453 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  A  =  U. { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A } )
3 simpl 444 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
4 abid 2368 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  <->  E. k  e.  NN  x  =  A )
5 eleq1a 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  S  ->  (
x  =  A  ->  x  e.  S )
)
65ralimi 2717 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  S  ->  A. k  e.  NN  ( x  =  A  ->  x  e.  S ) )
7 r19.23v 2758 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN  (
x  =  A  ->  x  e.  S )  <->  ( E. k  e.  NN  x  =  A  ->  x  e.  S ) )
86, 7sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  S  ->  ( E. k  e.  NN  x  =  A  ->  x  e.  S ) )
98imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  NN  A  e.  S  /\  E. k  e.  NN  x  =  A )  ->  x  e.  S )
109adantll 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  /\  E. k  e.  NN  x  =  A )  ->  x  e.  S )
114, 10sylan2b 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  /\  x  e.  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }
)  ->  x  e.  S )
1211ralrimiva 2725 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  A. x  e.  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A } x  e.  S )
13 nfab1 2518 . . . . . 6  |-  F/_ x { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }
14 nfcv 2516 . . . . . 6  |-  F/_ x S
1513, 14dfss3f 3276 . . . . 5  |-  ( { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  C_  S  <->  A. x  e.  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A } x  e.  S )
1612, 15sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  C_  S )
17 elpw2g 4297 . . . . 5  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  ~P S 
<->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  C_  S
) )
1817adantr 452 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  ( { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  ~P S 
<->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  C_  S
) )
1916, 18mpbird 224 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  ~P S )
20 nnct 23933 . . . 4  |-  NN  ~<_  om
21 abrexct 23945 . . . 4  |-  ( NN  ~<_  om  ->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  ~<_  om )
2220, 21mp1i 12 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  ~<_  om )
23 sigaclcu 24289 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  ~P S  /\  { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  ~<_  om )  ->  U. { x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  S )
243, 19, 22, 23syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  U. {
x  |  E. k  e.  NN  x  =  A }  e.  S )
252, 24eqeltrd 2454 1  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  A  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  A  e.  S
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2366   A.wral 2642   E.wrex 2643    C_ wss 3256   ~Pcpw 3735   U.cuni 3950   U_ciun 4028   class class class wbr 4146   omcom 4778   ran crn 4812    ~<_ cdom 7036   NNcn 9925  sigAlgebracsiga 24279
This theorem is referenced by:  sigaclfu2  24293  sigaclcu3  24294  measiun  24359
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-card 7752  df-acn 7755  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-siga 24280
  Copyright terms: Public domain W3C validator