Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaclfu2 Unicode version

Theorem sigaclfu2 23484
Description: A sigma-algebra is closed under finite union - indexing on  ( 1..^ N ) (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaclfu2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )
Distinct variable groups:    S, k    k, N
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem sigaclfu2
StepHypRef Expression
1 0elsiga 23477 . . . 4  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  S
)
2 nfv 1607 . . . . . . 7  |-  F/ k
(/)  e.  S
3 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( (/)  e.  S  /\  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )
)  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ N ) )  ->  k  e.  ( 1..^ N ) )
4 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( (/)  e.  S  /\  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )
)  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S
) )
53, 4mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (/)  e.  S  /\  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )
)  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ N ) )  ->  A  e.  S )
6 simplll 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( (/)  e.  S  /\  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )
)  /\  k  e.  NN )  /\  -.  k  e.  ( 1..^ N ) )  ->  (/)  e.  S
)
75, 6ifclda 3594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (/)  e.  S  /\  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )
)  /\  k  e.  NN )  ->  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S
)
87ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  S  /\  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )
)  ->  ( k  e.  NN  ->  if (
k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S
) )
98ex 423 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  S  ->  ( ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )  ->  (
k  e.  NN  ->  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S ) ) )
102, 9alimd 1746 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  S  ->  ( A. k ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S
)  ->  A. k
( k  e.  NN  ->  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S )
) )
11 df-ral 2550 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S  <->  A. k ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S ) )
12 df-ral 2550 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S  <->  A. k ( k  e.  NN  ->  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S ) )
1310, 11, 123imtr4g 261 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  S  ->  ( A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S  ->  A. k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S ) )
1413imp 418 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  S  /\  A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )  ->  A. k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S )
151, 14sylan 457 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )  ->  A. k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S )
16 sigaclcu2 23483 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S )
1715, 16syldan 456 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S )
18 iunxun 3985 . . . . 5  |-  U_ k  e.  ( ( 1..^ N )  u.  ( NN 
\  ( 1..^ N ) ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  ( U_ k  e.  ( 1..^ N ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  u.  U_ k  e.  ( NN  \  (
1..^ N ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) ) )
19 fzossnn 23280 . . . . . . 7  |-  ( 1..^ N )  C_  NN
20 undif 3536 . . . . . . 7  |-  ( ( 1..^ N )  C_  NN 
<->  ( ( 1..^ N )  u.  ( NN 
\  ( 1..^ N ) ) )  =  NN )
2119, 20mpbi 199 . . . . . 6  |-  ( ( 1..^ N )  u.  ( NN  \  (
1..^ N ) ) )  =  NN
22 iuneq1 3920 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1..^ N )  u.  ( NN  \ 
( 1..^ N ) ) )  =  NN 
->  U_ k  e.  ( ( 1..^ N )  u.  ( NN  \ 
( 1..^ N ) ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) ) )
2321, 22ax-mp 8 . . . . 5  |-  U_ k  e.  ( ( 1..^ N )  u.  ( NN 
\  ( 1..^ N ) ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  = 
U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )
24 iftrue 3573 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  if (
k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  A )
2524iuneq2i 3925 . . . . . 6  |-  U_ k  e.  ( 1..^ N ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  U_ k  e.  ( 1..^ N ) A
26 eldifn 3301 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( NN  \ 
( 1..^ N ) )  ->  -.  k  e.  ( 1..^ N ) )
27 iffalse 3574 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  e.  ( 1..^ N )  ->  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  (/) )
2826, 27syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( NN  \ 
( 1..^ N ) )  ->  if (
k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  (/) )
2928iuneq2i 3925 . . . . . . 7  |-  U_ k  e.  ( NN  \  (
1..^ N ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  U_ k  e.  ( NN  \  (
1..^ N ) )
(/)
30 iun0 3960 . . . . . . 7  |-  U_ k  e.  ( NN  \  (
1..^ N ) )
(/)  =  (/)
3129, 30eqtri 2305 . . . . . 6  |-  U_ k  e.  ( NN  \  (
1..^ N ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  (/)
3225, 31uneq12i 3329 . . . . 5  |-  ( U_ k  e.  ( 1..^ N ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  u.  U_ k  e.  ( NN  \  ( 1..^ N ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) ) )  =  (
U_ k  e.  ( 1..^ N ) A  u.  (/) )
3318, 23, 323eqtr3i 2313 . . . 4  |-  U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  ( U_ k  e.  ( 1..^ N ) A  u.  (/) )
34 un0 3481 . . . 4  |-  ( U_ k  e.  ( 1..^ N ) A  u.  (/) )  =  U_ k  e.  ( 1..^ N ) A
3533, 34eqtri 2305 . . 3  |-  U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  U_ k  e.  ( 1..^ N ) A
3635eleq1i 2348 . 2  |-  ( U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S  <->  U_ k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )
3717, 36sylib 188 1  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1529    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545    \ cdif 3151    u. cun 3152    C_ wss 3154   (/)c0 3457   ifcif 3567   U.cuni 3829   U_ciun 3907   ran crn 4692  (class class class)co 5860   1c1 8740   NNcn 9748  ..^cfzo 10872  sigAlgebracsiga 23470
This theorem is referenced by:  sigaclcu3  23485  measiuns  23546  measiun  23547  meascnbl  23548
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-ac2 8091  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-oi 7227  df-card 7574  df-acn 7577  df-ac 7745  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-siga 23471
  Copyright terms: Public domain W3C validator