Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaclfu2 Structured version   Unicode version

Theorem sigaclfu2 24496
Description: A sigma-algebra is closed under finite union - indexing on  ( 1..^ N ) (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaclfu2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )
Distinct variable groups:    S, k    k, N
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem sigaclfu2
StepHypRef Expression
1 iunxun 4164 . . . 4  |-  U_ k  e.  ( ( 1..^ N )  u.  ( NN 
\  ( 1..^ N ) ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  ( U_ k  e.  ( 1..^ N ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  u.  U_ k  e.  ( NN  \  (
1..^ N ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) ) )
2 fzossnn 11164 . . . . . 6  |-  ( 1..^ N )  C_  NN
3 undif 3700 . . . . . 6  |-  ( ( 1..^ N )  C_  NN 
<->  ( ( 1..^ N )  u.  ( NN 
\  ( 1..^ N ) ) )  =  NN )
42, 3mpbi 200 . . . . 5  |-  ( ( 1..^ N )  u.  ( NN  \  (
1..^ N ) ) )  =  NN
5 iuneq1 4098 . . . . 5  |-  ( ( ( 1..^ N )  u.  ( NN  \ 
( 1..^ N ) ) )  =  NN 
->  U_ k  e.  ( ( 1..^ N )  u.  ( NN  \ 
( 1..^ N ) ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) ) )
64, 5ax-mp 8 . . . 4  |-  U_ k  e.  ( ( 1..^ N )  u.  ( NN 
\  ( 1..^ N ) ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  = 
U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )
7 iftrue 3737 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  if (
k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  A )
87iuneq2i 4103 . . . . 5  |-  U_ k  e.  ( 1..^ N ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  U_ k  e.  ( 1..^ N ) A
9 eldifn 3462 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( NN  \ 
( 1..^ N ) )  ->  -.  k  e.  ( 1..^ N ) )
10 iffalse 3738 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  ( 1..^ N )  ->  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  (/) )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( NN  \ 
( 1..^ N ) )  ->  if (
k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  (/) )
1211iuneq2i 4103 . . . . . 6  |-  U_ k  e.  ( NN  \  (
1..^ N ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  U_ k  e.  ( NN  \  (
1..^ N ) )
(/)
13 iun0 4139 . . . . . 6  |-  U_ k  e.  ( NN  \  (
1..^ N ) )
(/)  =  (/)
1412, 13eqtri 2455 . . . . 5  |-  U_ k  e.  ( NN  \  (
1..^ N ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  (/)
158, 14uneq12i 3491 . . . 4  |-  ( U_ k  e.  ( 1..^ N ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  u.  U_ k  e.  ( NN  \  ( 1..^ N ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) ) )  =  (
U_ k  e.  ( 1..^ N ) A  u.  (/) )
161, 6, 153eqtr3i 2463 . . 3  |-  U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  ( U_ k  e.  ( 1..^ N ) A  u.  (/) )
17 un0 3644 . . 3  |-  ( U_ k  e.  ( 1..^ N ) A  u.  (/) )  =  U_ k  e.  ( 1..^ N ) A
1816, 17eqtri 2455 . 2  |-  U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  U_ k  e.  ( 1..^ N ) A
19 0elsiga 24489 . . . 4  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  S
)
20 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (/)  e.  S  /\  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )
)  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ N ) )  ->  k  e.  ( 1..^ N ) )
21 simpllr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (/)  e.  S  /\  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )
)  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S
) )
2220, 21mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( (/)  e.  S  /\  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )
)  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ N ) )  ->  A  e.  S )
23 simplll 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( (/)  e.  S  /\  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )
)  /\  k  e.  NN )  /\  -.  k  e.  ( 1..^ N ) )  ->  (/)  e.  S
)
2422, 23ifclda 3758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (/)  e.  S  /\  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )
)  /\  k  e.  NN )  ->  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S
)
2524exp31 588 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  S  ->  ( ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )  ->  (
k  e.  NN  ->  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S ) ) )
2625ralimdv2 2778 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  S  ->  ( A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S  ->  A. k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S ) )
2726imp 419 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  S  /\  A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )  ->  A. k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S )
2819, 27sylan 458 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )  ->  A. k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S )
29 sigaclcu2 24495 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S )
3028, 29syldan 457 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S )
3118, 30syl5eqelr 2520 1  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ifcif 3731   U.cuni 4007   U_ciun 4085   ran crn 4871  (class class class)co 6073   1c1 8983   NNcn 9992  ..^cfzo 11127  sigAlgebracsiga 24482
This theorem is referenced by:  sigaclcu3  24497  measiuns  24563  measiun  24564  meascnbl  24565
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-card 7818  df-acn 7821  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-siga 24483
  Copyright terms: Public domain W3C validator