Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaclfu2 Unicode version

Theorem sigaclfu2 24300
Description: A sigma-algebra is closed under finite union - indexing on  ( 1..^ N ) (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaclfu2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )
Distinct variable groups:    S, k    k, N
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem sigaclfu2
StepHypRef Expression
1 iunxun 4113 . . . 4  |-  U_ k  e.  ( ( 1..^ N )  u.  ( NN 
\  ( 1..^ N ) ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  ( U_ k  e.  ( 1..^ N ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  u.  U_ k  e.  ( NN  \  (
1..^ N ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) ) )
2 fzossnn 23988 . . . . . 6  |-  ( 1..^ N )  C_  NN
3 undif 3651 . . . . . 6  |-  ( ( 1..^ N )  C_  NN 
<->  ( ( 1..^ N )  u.  ( NN 
\  ( 1..^ N ) ) )  =  NN )
42, 3mpbi 200 . . . . 5  |-  ( ( 1..^ N )  u.  ( NN  \  (
1..^ N ) ) )  =  NN
5 iuneq1 4048 . . . . 5  |-  ( ( ( 1..^ N )  u.  ( NN  \ 
( 1..^ N ) ) )  =  NN 
->  U_ k  e.  ( ( 1..^ N )  u.  ( NN  \ 
( 1..^ N ) ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) ) )
64, 5ax-mp 8 . . . 4  |-  U_ k  e.  ( ( 1..^ N )  u.  ( NN 
\  ( 1..^ N ) ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  = 
U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )
7 iftrue 3688 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  if (
k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  A )
87iuneq2i 4053 . . . . 5  |-  U_ k  e.  ( 1..^ N ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  U_ k  e.  ( 1..^ N ) A
9 eldifn 3413 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( NN  \ 
( 1..^ N ) )  ->  -.  k  e.  ( 1..^ N ) )
10 iffalse 3689 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  ( 1..^ N )  ->  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  (/) )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( NN  \ 
( 1..^ N ) )  ->  if (
k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  (/) )
1211iuneq2i 4053 . . . . . 6  |-  U_ k  e.  ( NN  \  (
1..^ N ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  U_ k  e.  ( NN  \  (
1..^ N ) )
(/)
13 iun0 4088 . . . . . 6  |-  U_ k  e.  ( NN  \  (
1..^ N ) )
(/)  =  (/)
1412, 13eqtri 2407 . . . . 5  |-  U_ k  e.  ( NN  \  (
1..^ N ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  (/)
158, 14uneq12i 3442 . . . 4  |-  ( U_ k  e.  ( 1..^ N ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  u.  U_ k  e.  ( NN  \  ( 1..^ N ) ) if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) ) )  =  (
U_ k  e.  ( 1..^ N ) A  u.  (/) )
161, 6, 153eqtr3i 2415 . . 3  |-  U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  ( U_ k  e.  ( 1..^ N ) A  u.  (/) )
17 un0 3595 . . 3  |-  ( U_ k  e.  ( 1..^ N ) A  u.  (/) )  =  U_ k  e.  ( 1..^ N ) A
1816, 17eqtri 2407 . 2  |-  U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  =  U_ k  e.  ( 1..^ N ) A
19 0elsiga 24293 . . . 4  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  S
)
20 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (/)  e.  S  /\  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )
)  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ N ) )  ->  k  e.  ( 1..^ N ) )
21 simpllr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (/)  e.  S  /\  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )
)  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S
) )
2220, 21mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( (/)  e.  S  /\  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )
)  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1..^ N ) )  ->  A  e.  S )
23 simplll 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( (/)  e.  S  /\  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )
)  /\  k  e.  NN )  /\  -.  k  e.  ( 1..^ N ) )  ->  (/)  e.  S
)
2422, 23ifclda 3709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (/)  e.  S  /\  ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )
)  /\  k  e.  NN )  ->  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S
)
2524exp31 588 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  S  ->  ( ( k  e.  ( 1..^ N )  ->  A  e.  S )  ->  (
k  e.  NN  ->  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S ) ) )
2625ralimdv2 2729 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  S  ->  ( A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S  ->  A. k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S ) )
2726imp 419 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  S  /\  A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )  ->  A. k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S )
2819, 27sylan 458 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )  ->  A. k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S )
29 sigaclcu2 24299 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S )
3028, 29syldan 457 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )  ->  U_ k  e.  NN  if ( k  e.  ( 1..^ N ) ,  A ,  (/) )  e.  S )
3118, 30syl5eqelr 2472 1  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ N ) A  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649    \ cdif 3260    u. cun 3261    C_ wss 3263   (/)c0 3571   ifcif 3682   U.cuni 3957   U_ciun 4035   ran crn 4819  (class class class)co 6020   1c1 8924   NNcn 9932  ..^cfzo 11065  sigAlgebracsiga 24286
This theorem is referenced by:  sigaclcu3  24301  measiuns  24365  measiun  24366  meascnbl  24367
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-card 7759  df-acn 7762  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-siga 24287
  Copyright terms: Public domain W3C validator