MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sii Unicode version

Theorem sii 22343
Description: Schwarz inequality. Part of Lemma 3-2.1(a) of [Kreyszig] p. 137. This is also called the Cauchy-Schwarz inequality by some authors and Bunjakovaskij-Cauchy-Schwarz inequality by others. See also theorems bcseqi 22610, bcsiALT 22669, bcsiHIL 22670, csbrn 26393. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sii.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
sii.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
sii.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
sii.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
Assertion
Ref Expression
sii  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  ( A P B ) )  <_  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) )

Proof of Theorem sii
StepHypRef Expression
1 oveq1 6079 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( A P B )  =  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) P B ) )
21fveq2d 5723 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( abs `  ( A P B ) )  =  ( abs `  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P B ) ) )
3 fveq2 5719 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( N `  A )  =  ( N `  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
43oveq1d 6087 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( N `  A
)  x.  ( N `
 B ) )  =  ( ( N `
 if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) )  x.  ( N `  B
) ) )
52, 4breq12d 4217 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( abs `  ( A P B ) )  <_  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) )  <->  ( abs `  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) P B ) )  <_  (
( N `  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) )  x.  ( N `  B ) ) ) )
6 oveq2 6080 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P B )  =  ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
76fveq2d 5723 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( abs `  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P B ) )  =  ( abs `  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) ) )
8 fveq2 5719 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( N `  B )  =  ( N `  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
98oveq2d 6088 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( N `  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) )  x.  ( N `  B ) )  =  ( ( N `  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) )  x.  ( N `  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) ) )
107, 9breq12d 4217 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( abs `  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P B ) )  <_ 
( ( N `  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) )  x.  ( N `  B ) )  <->  ( abs `  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) P if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) )  <_  ( ( N `  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) )  x.  ( N `  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) ) ) )
11 sii.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
12 sii.6 . . 3  |-  N  =  ( normCV `  U )
13 sii.7 . . 3  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
14 sii.9 . . 3  |-  U  e.  CPreHil
OLD
15 eqid 2435 . . . 4  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
1611, 15, 14elimph 22309 . . 3  |-  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) )  e.  X
1711, 15, 14elimph 22309 . . 3  |-  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) )  e.  X
1811, 12, 13, 14, 16, 17siii 22342 . 2  |-  ( abs `  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) P if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) )  <_  ( ( N `  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) )  x.  ( N `  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
195, 10, 18dedth2h 3773 1  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  ( A P B ) )  <_  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ifcif 3731   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072    x. cmul 8984    <_ cle 9110   abscabs 12027   BaseSetcba 22053   0veccn0v 22055   normCVcnmcv 22057   .i OLDcdip 22184   CPreHil OLDccphlo 22301
This theorem is referenced by:  ipblnfi  22345  htthlem  22408
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-sum 12468  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-t1 17366  df-haus 17367  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-grpo 21767  df-gid 21768  df-ginv 21769  df-gdiv 21770  df-ablo 21858  df-vc 22013  df-nv 22059  df-va 22062  df-ba 22063  df-sm 22064  df-0v 22065  df-vs 22066  df-nmcv 22067  df-ims 22068  df-dip 22185  df-ph 22302
  Copyright terms: Public domain W3C validator