HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem sin0 9431
Description: Value of the sine function at 0. (Contributed by Steve Rodriguez, 5-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
sin0 |- (sin` 0) = 0

Proof of Theorem sin0
StepHypRef Expression
1 neg0 7303 . . . 4 |- -u0 = 0
21fveq2i 4684 . . 3 |- (sin` -u0) = (sin` 0)
3 0cn 7098 . . . 4 |- 0 e. CC
4 sinneg 9428 . . . 4 |- (0 e. CC -> (sin` -u0) = -u(sin` 0))
53, 4ax-mp 8 . . 3 |- (sin` -u0) = -u(sin`
0)
62, 5eqtr3i 1975 . 2 |- (sin` 0) = -u(sin` 0)
7 sincl 9416 . . . 4 |- (0 e. CC -> (sin` 0) e. CC)
83, 7ax-mp 8 . . 3 |- (sin` 0) e. CC
98eqnegi 7561 . 2 |- ((sin` 0) = -u(sin` 0) <-> (sin` 0) = 0)
106, 9mpbi 212 1 |- (sin` 0) = 0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1449   e. wcel 1451  ` cfv 4016  CCcc 6998  0cc0 7000  -ucneg 7224  sincsin 9357
This theorem is referenced by:  tan0 9433  demoivreALT 9471  sin2kpi 12615  sinq12ge0 12636  sinkpi 12643
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1367  ax-6 1368  ax-7 1369  ax-gen 1370  ax-8 1453  ax-10 1454  ax-11 1455  ax-12 1456  ax-13 1457  ax-14 1458  ax-17 1465  ax-9 1480  ax-4 1486  ax-16 1664  ax-15 1827  ax-ext 1935  ax-rep 3459  ax-sep 3469  ax-nul 3478  ax-pow 3514  ax-pr 3538  ax-un 3808  ax-inf2 6071  ax-resscn 7054  ax-1cn 7055  ax-icn 7056  ax-addcl 7057  ax-addrcl 7058  ax-mulcl 7059  ax-mulrcl 7060  ax-mulcom 7061  ax-addass 7062  ax-mulass 7063  ax-distr 7064  ax-i2m1 7065  ax-1ne0 7066  ax-1rid 7067  ax-rnegex 7068  ax-rrecex 7069  ax-cnre 7070  ax-pre-lttri 7071  ax-pre-lttrn 7072  ax-pre-ltadd 7073  ax-pre-mulgt0 7074  ax-pre-sup 7075
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 378  df-an 379  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1345  df-ex 1372  df-sb 1626  df-eu 1853  df-mo 1854  df-clab 1941  df-cleq 1946  df-clel 1949  df-ne 2073  df-nel 2074  df-ral 2166  df-rex 2167  df-reu 2168  df-rab 2169  df-v 2360  df-sbc 2525  df-csb 2600  df-dif 2660  df-un 2662  df-in 2664  df-ss 2666  df-pss 2668  df-nul 2922  df-if 3023  df-pw 3081  df-sn 3096  df-pr 3097  df-tp 3099  df-op 3100  df-uni 3229  df-int 3263  df-iun 3301  df-br 3374  df-opab 3428  df-tr 3443  df-eprel 3621  df-id 3624  df-po 3629  df-so 3643  df-fr 3662  df-we 3678  df-ord 3694  df-on 3695  df-lim 3696  df-suc 3697  df-om 3971  df-xp 4018  df-rel 4019  df-cnv 4020  df-co 4021  df-dm 4022  df-rn 4023  df-res 4024  df-ima 4025  df-fun 4026  df-fn 4027  df-f 4028  df-f1 4029  df-fo 4030  df-f1o 4031  df-fv 4032  df-iso 4033  df-ov 4933  df-oprab 4934  df-mpt 5068  df-mpt2 5069  df-1st 5166  df-2nd 5167  df-iota 5270  df-rdg 5356  df-1o 5393  df-er 5530  df-map 5618  df-en 5675  df-dom 5676  df-sdom 5677  df-fin 5678  df-riota 5818  df-sup 5992  df-card 6236  df-pnf 7113  df-mnf 7114  df-xr 7115  df-ltxr 7116  df-le 7117  df-sub 7242  df-neg 7244  df-div 7468  df-n 7706  df-2 7752  df-3 7753  df-n0 7876  df-z 7920  df-uz 8040  df-q 8122  df-rp 8247  df-fz 8391  df-fl 8483  df-seq 8575  df-exp 8627  df-fac 8760  df-hash 8806  df-shft 8839  df-cj 8861  df-re 8862  df-im 8863  df-sqr 8955  df-abs 8956  df-limsup 9108  df-clim 9122  df-sum 9199  df-ef 9361  df-sin 9363
Copyright terms: Public domain