Theorem sin0 12425

Description: Value of the sine function at 0. (Contributed by Steve Rodriguez, 14-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
sin0	|- ( sin ` 0 ) = 0

Proof of Theorem sin0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg0 9089	. . . 4 |- -u 0 = 0
2	1	fveq2i 5489	. . 3 |- ( sin ` -u 0 ) = ( sin ` 0 )
3		0cn 8827	. . . 4 |- 0 e. CC
4		sinneg 12422	. . . 4 |- ( 0 e. CC -> ( sin ` -u 0 ) = -u ( sin ` 0 ) )
5	3, 4	ax-mp 8	. . 3 |- ( sin ` -u 0 ) = -u ( sin ` 0 )
6	2, 5	eqtr3i 2306	. 2 |- ( sin ` 0 ) = -u ( sin ` 0 )
7		sincl 12402	. . . 4 |- ( 0 e. CC -> ( sin ` 0 ) e. CC )
8	3, 7	ax-mp 8	. . 3 |- ( sin ` 0 ) e. CC
9	8	eqnegi 9485	. 2 |- ( ( sin ` 0 ) = -u ( sin ` 0 ) <-> ( sin ` 0 ) = 0 )
10	6, 9	mpbi 199	1 |- ( sin ` 0 ) = 0

Syntax hints:   = wceq 1623   e. wcel 1685   ` cfv 5221   CCcc 8731   0cc0 8733   -ucneg 9034   sincsin 12341

This theorem is referenced by:  tan0  12427  demoivreALT  12477  sin2kpi  19847  sinq12ge0  19872  sinkpi  19883  itgsinexplem1  27159

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-pm 6771  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-ico 10658  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-seq 11043  df-exp 11101  df-fac 11285  df-hash 11334  df-shft 11558  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-limsup 11941  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-sum 12155  df-ef 12345  df-sin 12347