Theorem sin0 12392

Description: Value of the sine function at 0. (Contributed by Steve Rodriguez, 14-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
sin0	|- ( sin ` 0 ) = 0

Proof of Theorem sin0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg0 9061	. . . 4 |- -u 0 = 0
2	1	fveq2i 5461	. . 3 |- ( sin ` -u 0 ) = ( sin ` 0 )
3		0cn 8799	. . . 4 |- 0 e. CC
4		sinneg 12389	. . . 4 |- ( 0 e. CC -> ( sin ` -u 0 ) = -u ( sin ` 0 ) )
5	3, 4	ax-mp 10	. . 3 |- ( sin ` -u 0 ) = -u ( sin ` 0 )
6	2, 5	eqtr3i 2280	. 2 |- ( sin ` 0 ) = -u ( sin ` 0 )
7		sincl 12369	. . . 4 |- ( 0 e. CC -> ( sin ` 0 ) e. CC )
8	3, 7	ax-mp 10	. . 3 |- ( sin ` 0 ) e. CC
9	8	eqnegi 9457	. 2 |- ( ( sin ` 0 ) = -u ( sin ` 0 ) <-> ( sin ` 0 ) = 0 )
10	6, 9	mpbi 201	1 |- ( sin ` 0 ) = 0

Syntax hints:   = wceq 1619   e. wcel 1621   ` cfv 4673   CCcc 8703   0cc0 8705   -ucneg 9006   sincsin 12308

This theorem is referenced by:  tan0  12394  demoivreALT  12444  sin2kpi  19814  sinq12ge0  19839  sinkpi  19850  itgsinexplem1  27117

This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-pm 6743  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199  df-rp 10323  df-ico 10629  df-fz 10750  df-fzo 10838  df-fl 10892  df-seq 11014  df-exp 11072  df-fac 11256  df-hash 11305  df-shft 11528  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-sqr 11686  df-abs 11687  df-limsup 11911  df-clim 11928  df-rlim 11929  df-sum 12125  df-ef 12312  df-sin 12314