HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem sin0 11041
Description: Value of the sine function at 0. (Contributed by Steve Rodriguez, 14-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
sin0  |-  ( sin `  0 )  =  0

Proof of Theorem sin0
StepHypRef Expression
1 neg0 8468 . . . 4  |-  -u 0  =  0
21fveq2i 5043 . . 3  |-  ( sin `  -u 0 )  =  ( sin `  0
)
3 0cn 8254 . . . 4  |-  0  e.  CC
4 sinneg 11038 . . . 4  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( sin `  -u 0 )  = 
-u ( sin `  0
) )
53, 4ax-mp 8 . . 3  |-  ( sin `  -u 0 )  = 
-u ( sin `  0
)
62, 5eqtr3i 2083 . 2  |-  ( sin `  0 )  = 
-u ( sin `  0
)
7 sincl 11024 . . . 4  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( sin `  0 )  e.  CC )
83, 7ax-mp 8 . . 3  |-  ( sin `  0 )  e.  CC
98eqnegi 8732 . 2  |-  ( ( sin `  0 )  =  -u ( sin `  0
)  <->  ( sin `  0
)  =  0 )
106, 9mpbi 197 1  |-  ( sin `  0 )  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1517    e. wcel 1519   ` cfv 4265   CCcc 8149   0cc0 8151   -ucneg 8388   sincsin 10965
This theorem is referenced by:  tan0  11043  demoivreALT  11093  sin2kpi  17808  sinq12ge0  17831  sinkpi  17840
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1439  ax-6 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-8 1521  ax-11 1522  ax-13 1523  ax-14 1524  ax-17 1526  ax-12o 1559  ax-10 1573  ax-9 1579  ax-4 1586  ax-16 1772  ax-ext 2043  ax-rep 3688  ax-sep 3698  ax-nul 3706  ax-pow 3742  ax-pr 3766  ax-un 4058  ax-inf2 6819  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-icn 8209  ax-addcl 8210  ax-addrcl 8211  ax-mulcl 8212  ax-mulrcl 8213  ax-mulcom 8214  ax-addass 8215  ax-mulass 8216  ax-distr 8217  ax-i2m1 8218  ax-1ne0 8219  ax-1rid 8220  ax-rnegex 8221  ax-rrecex 8222  ax-cnre 8223  ax-pre-lttri 8224  ax-pre-lttrn 8225  ax-pre-ltadd 8226  ax-pre-mulgt0 8227  ax-pre-sup 8228
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3or 894  df-3an 895  df-tru 1256  df-ex 1444  df-sb 1733  df-eu 1955  df-mo 1956  df-clab 2049  df-cleq 2054  df-clel 2057  df-ne 2181  df-nel 2182  df-ral 2275  df-rex 2276  df-reu 2277  df-rab 2278  df-v 2474  df-sbc 2648  df-csb 2730  df-dif 2793  df-un 2795  df-in 2797  df-ss 2801  df-pss 2803  df-nul 3070  df-if 3179  df-pw 3240  df-sn 3258  df-pr 3259  df-tp 3260  df-op 3261  df-uni 3422  df-int 3456  df-iun 3499  df-br 3584  df-opab 3638  df-mpt 3639  df-tr 3671  df-eprel 3853  df-id 3857  df-po 3862  df-so 3863  df-fr 3900  df-se 3901  df-we 3902  df-ord 3943  df-on 3944  df-lim 3945  df-suc 3946  df-om 4221  df-xp 4267  df-rel 4268  df-cnv 4269  df-co 4270  df-dm 4271  df-rn 4272  df-res 4273  df-ima 4274  df-fun 4275  df-fn 4276  df-f 4277  df-f1 4278  df-fo 4279  df-f1o 4280  df-fv 4281  df-iso 4282  df-ov 5358  df-oprab 5359  df-mpt2 5360  df-1st 5609  df-2nd 5610  df-iota 5764  df-recs 5837  df-rdg 5872  df-1o 5928  df-oadd 5932  df-er 6109  df-pm 6214  df-en 6296  df-dom 6297  df-sdom 6298  df-fin 6299  df-riota 6462  df-sup 6670  df-oi 6702  df-card 7048  df-pnf 8269  df-mnf 8270  df-xr 8271  df-ltxr 8272  df-le 8273  df-sub 8406  df-neg 8407  df-div 8637  df-n 8879  df-2 8926  df-3 8927  df-n0 9072  df-z 9124  df-uz 9321  df-rp 9443  df-fz 9799  df-fzo 9887  df-fl 9938  df-seq 10042  df-exp 10100  df-fac 10239  df-hash 10288  df-shft 10353  df-cj 10375  df-re 10376  df-im 10377  df-sqr 10473  df-abs 10474  df-limsup 10638  df-clim 10654  df-rlim 10655  df-sum 10794  df-ef 10969  df-sin 10971
Copyright terms: Public domain