Theorem sin0 9514

Description: Value of the sine function at 0. (Contributed by Steve Rodriguez, 5-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
sin0	|- (sin` 0) = 0

Proof of Theorem sin0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg0 7325	. . . 4 |- -u0 = 0
2	1	fveq2i 4681	. . 3 |- (sin` -u0) = (sin` 0)
3		0cn 7120	. . . 4 |- 0 e. CC
4		sinneg 9511	. . . 4 |- (0 e. CC -> (sin` -u0) = -u(sin` 0))
5	3, 4	ax-mp 8	. . 3 |- (sin` -u0) = -u(sin` 0)
6	2, 5	eqtr3i 1951	. 2 |- (sin` 0) = -u(sin` 0)
7		sincl 9499	. . . 4 |- (0 e. CC -> (sin` 0) e. CC)
8	3, 7	ax-mp 8	. . 3 |- (sin` 0) e. CC
9	8	eqnegi 7583	. 2 |- ((sin` 0) = -u(sin` 0) <-> (sin` 0) = 0)
10	6, 9	mpbi 197	1 |- (sin` 0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1425   e. wcel 1427  ` cfv 4007  CCcc 7020  0cc0 7022  -ucneg 7246  sincsin 9439

This theorem is referenced by:  tan0 9516  demoivreALT 9554  sin2kpi 12956  sinq12ge0 12977  sinkpi 12984

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1342  ax-6 1343  ax-7 1344  ax-gen 1345  ax-8 1429  ax-10 1430  ax-11 1431  ax-12 1432  ax-13 1433  ax-14 1434  ax-17 1441  ax-9 1456  ax-4 1462  ax-16 1640  ax-15 1803  ax-ext 1911  ax-rep 3448  ax-sep 3458  ax-nul 3467  ax-pow 3503  ax-pr 3527  ax-un 3799  ax-inf2 6094  ax-resscn 7076  ax-1cn 7077  ax-icn 7078  ax-addcl 7079  ax-addrcl 7080  ax-mulcl 7081  ax-mulrcl 7082  ax-mulcom 7083  ax-addass 7084  ax-mulass 7085  ax-distr 7086  ax-i2m1 7087  ax-1ne0 7088  ax-1rid 7089  ax-rnegex 7090  ax-rrecex 7091  ax-cnre 7092  ax-pre-lttri 7093  ax-pre-lttrn 7094  ax-pre-ltadd 7095  ax-pre-mulgt0 7096  ax-pre-sup 7097

This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 361  df-an 362  df-3or 913  df-3an 914  df-tru 1320  df-ex 1347  df-sb 1602  df-eu 1829  df-mo 1830  df-clab 1917  df-cleq 1922  df-clel 1925  df-ne 2049  df-nel 2050  df-ral 2142  df-rex 2143  df-reu 2144  df-rab 2145  df-v 2337  df-sbc 2502  df-csb 2579  df-dif 2641  df-un 2643  df-in 2645  df-ss 2647  df-pss 2649  df-nul 2904  df-if 3009  df-pw 3067  df-sn 3084  df-pr 3085  df-tp 3086  df-op 3087  df-uni 3218  df-int 3252  df-iun 3290  df-br 3363  df-opab 3417  df-tr 3432  df-eprel 3612  df-id 3615  df-po 3620  df-so 3634  df-fr 3653  df-we 3669  df-ord 3685  df-on 3686  df-lim 3687  df-suc 3688  df-om 3962  df-xp 4009  df-rel 4010  df-cnv 4011  df-co 4012  df-dm 4013  df-rn 4014  df-res 4015  df-ima 4016  df-fun 4017  df-fn 4018  df-f 4019  df-f1 4020  df-fo 4021  df-f1o 4022  df-fv 4023  df-iso 4024  df-ov 4933  df-oprab 4934  df-mpt 5070  df-mpt2 5071  df-1st 5187  df-2nd 5188  df-iota 5290  df-rdg 5376  df-1o 5413  df-er 5550  df-map 5638  df-pm 5639  df-en 5695  df-dom 5696  df-sdom 5697  df-fin 5698  df-riota 5839  df-sup 6015  df-card 6258  df-pnf 7135  df-mnf 7136  df-xr 7137  df-ltxr 7138  df-le 7139  df-sub 7264  df-neg 7266  df-div 7490  df-n 7729  df-2 7775  df-3 7776  df-n0 7899  df-z 7943  df-uz 8063  df-q 8145  df-rp 8270  df-fz 8415  df-fl 8508  df-seq 8601  df-exp 8654  df-fac 8787  df-hash 8833  df-shft 8867  df-cj 8889  df-re 8890  df-im 8891  df-sqr 8983  df-abs 8984  df-limsup 9138  df-clim 9154  df-rlim 9155  df-sum 9280  df-ef 9443  df-sin 9445

Copyright terms: Public domain