Theorem sin01bndlem1 7676

Description: Lemma for sin01bnd 7681 and cos01bnd 7682.

Assertion

Ref	Expression
sin01bndlem1	|- (5 / ((!` 4) x. 4)) < (1 / 6)

Proof of Theorem sin01bndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3pos 6137	. . . . . 6 |- 0 < 3
2		0re 5594	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
3		3re 6127	. . . . . . 7 |- 3 e. RR
4		5re 6129	. . . . . . 7 |- 5 e. RR
5	2, 3, 4	ltadd1i 5745	. . . . . 6 |- (0 < 3 <-> (0 + 5) < (3 + 5))
6	1, 5	mpbi 187	. . . . 5 |- (0 + 5) < (3 + 5)
7	4	recni 5468	. . . . . 6 |- 5 e. CC
8	7	addid2i 5485	. . . . 5 |- (0 + 5) = 5
9		cu2 6837	. . . . . 6 |- (2^3) = 8
10		5p3e8 6159	. . . . . 6 |- (5 + 3) = 8
11		3nn 6146	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN
12	11	nncni 6077	. . . . . . 7 |- 3 e. CC
13	7, 12	addcomi 5476	. . . . . 6 |- (5 + 3) = (3 + 5)
14	9, 10, 13	3eqtr2ri 1545	. . . . 5 |- (3 + 5) = (2^3)
15	6, 8, 14	3brtr3i 2715	. . . 4 |- 5 < (2^3)
16		2nn 6145	. . . . . 6 |- 2 e. NN
17		nnge1 6088	. . . . . 6 |- (2 e. NN -> 1 <_ 2)
18	16, 17	ax-mp 7	. . . . 5 |- 1 <_ 2
19		lep1 5952	. . . . . . 7 |- (3 e. RR -> 3 <_ (3 + 1))
20	3, 19	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 3 <_ (3 + 1)
21		df-4 6118	. . . . . 6 |- 4 = (3 + 1)
22	20, 21	breqtrri 2713	. . . . 5 |- 3 <_ 4
23		2re 6125	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
24	11	nnnn0i 6275	. . . . . . 7 |- 3 e. NN0
25		4nn 6148	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
26	25	nnnn0i 6275	. . . . . . 7 |- 4 e. NN0
27	23, 24, 26	3pm3.2i 824	. . . . . 6 |- (2 e. RR /\ 3 e. NN0 /\ 4 e. NN0)
28		expwordi 6800	. . . . . 6 |- (((2 e. RR /\ 3 e. NN0 /\ 4 e. NN0) /\ (1 <_ 2 /\ 3 <_ 4)) -> (2^3) <_ (2^4))
29	27, 28	mpan 699	. . . . 5 |- ((1 <_ 2 /\ 3 <_ 4) -> (2^3) <_ (2^4))
30	18, 22, 29	mp2an 701	. . . 4 |- (2^3) <_ (2^4)
31		8re 6132	. . . . . 6 |- 8 e. RR
32	9, 31	eqeltri 1587	. . . . 5 |- (2^3) e. RR
33		nnexpcl 6771	. . . . . . 7 |- ((2 e. NN /\ 4 e. NN0) -> (2^4) e. NN)
34	16, 26, 33	mp2an 701	. . . . . 6 |- (2^4) e. NN
35	34	nnrei 6076	. . . . 5 |- (2^4) e. RR
36	4, 32, 35	ltletri 5741	. . . 4 |- ((5 < (2^3) /\ (2^3) <_ (2^4)) -> 5 < (2^4))
37	15, 30, 36	mp2an 701	. . 3 |- 5 < (2^4)
38		6re 6130	. . . . 5 |- 6 e. RR
39	38, 35	remulcli 5489	. . . 4 |- (6 x. (2^4)) e. RR
40		6pos 6140	. . . . 5 |- 0 < 6
41	34	nngt0i 6095	. . . . 5 |- 0 < (2^4)
42	38, 35, 40, 41	mulgt0ii 5762	. . . 4 |- 0 < (6 x. (2^4))
43	4, 35, 39, 42	ltdiv1ii 5963	. . 3 |- (5 < (2^4) <-> (5 / (6 x. (2^4))) < ((2^4) / (6 x. (2^4))))
44	37, 43	mpbi 187	. 2 |- (5 / (6 x. (2^4))) < ((2^4) / (6 x. (2^4)))
45	21	fveq2i 3838	. . . . . . 7 |- (!` 4) = (!` (3 + 1))
46		facp1 7139	. . . . . . . 8 |- (3 e. NN0 -> (!` (3 + 1)) = ((!` 3) x. (3 + 1)))
47	24, 46	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (!` (3 + 1)) = ((!` 3) x. (3 + 1))
48		sq2 6835	. . . . . . . . 9 |- (2^2) = 4
49	48, 21	eqtr2i 1539	. . . . . . . 8 |- (3 + 1) = (2^2)
50	49	opreq2i 4030	. . . . . . 7 |- ((!` 3) x. (3 + 1)) = ((!` 3) x. (2^2))
51	45, 47, 50	3eqtri 1542	. . . . . 6 |- (!` 4) = ((!` 3) x. (2^2))
52	51	opreq1i 4029	. . . . 5 |- ((!` 4) x. (2^2)) = (((!` 3) x. (2^2)) x. (2^2))
53	48	opreq2i 4030	. . . . 5 |- ((!` 4) x. (2^2)) = ((!` 4) x. 4)
54		fac3 7141	. . . . . . 7 |- (!` 3) = 6
55	38	recni 5468	. . . . . . 7 |- 6 e. CC
56	54, 55	eqeltri 1587	. . . . . 6 |- (!` 3) e. CC
57		4re 6128	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR
58	57	recni 5468	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
59	48, 58	eqeltri 1587	. . . . . 6 |- (2^2) e. CC
60	56, 59, 59	mulassi 5479	. . . . 5 |- (((!` 3) x. (2^2)) x. (2^2)) = ((!` 3) x. ((2^2) x. (2^2)))
61	52, 53, 60	3eqtr3i 1546	. . . 4 |- ((!` 4) x. 4) = ((!` 3) x. ((2^2) x. (2^2)))
62		2p2e4 6147	. . . . . . 7 |- (2 + 2) = 4
63	62	opreq2i 4030	. . . . . 6 |- (2^(2 + 2)) = (2^4)
64		2cn 6126	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
65		2nn0 6283	. . . . . . 7 |- 2 e. NN0
66		expadd 6791	. . . . . . 7 |- ((2 e. CC /\ 2 e. NN0 /\ 2 e. NN0) -> (2^(2 + 2)) = ((2^2) x. (2^2)))
67	64, 65, 65, 66	mp3an 922	. . . . . 6 |- (2^(2 + 2)) = ((2^2) x. (2^2))
68	63, 67	eqtr3i 1540	. . . . 5 |- (2^4) = ((2^2) x. (2^2))
69	68	opreq2i 4030	. . . 4 |- ((!` 3) x. (2^4)) = ((!` 3) x. ((2^2) x. (2^2)))
70	54	opreq1i 4029	. . . 4 |- ((!` 3) x. (2^4)) = (6 x. (2^4))
71	61, 69, 70	3eqtr2i 1544	. . 3 |- ((!` 4) x. 4) = (6 x. (2^4))
72	71	opreq2i 4030	. 2 |- (5 / ((!` 4) x. 4)) = (5 / (6 x. (2^4)))
73	34	nncni 6077	. . . . . 6 |- (2^4) e. CC
74	34	nnne0i 6096	. . . . . 6 |- (2^4) =/= 0
75	73, 74	dividi 5909	. . . . 5 |- ((2^4) / (2^4)) = 1
76	75	opreq2i 4030	. . . 4 |- ((1 / 6) x. ((2^4) / (2^4))) = ((1 / 6) x. 1)
77		ax1cn 5423	. . . . 5 |- 1 e. CC
78	38, 40	gt0ne0ii 5771	. . . . 5 |- 6 =/= 0
79	77, 55, 73, 73, 78, 74	divmuldivi 5925	. . . 4 |- ((1 / 6) x. ((2^4) / (2^4))) = ((1 x. (2^4)) / (6 x. (2^4)))
80	55, 78	reccli 5865	. . . . 5 |- (1 / 6) e. CC
81	80	mulid1i 5486	. . . 4 |- ((1 / 6) x. 1) = (1 / 6)
82	76, 79, 81	3eqtr3i 1546	. . 3 |- ((1 x. (2^4)) / (6 x. (2^4))) = (1 / 6)
83	73	mulid2i 5487	. . . 4 |- (1 x. (2^4)) = (2^4)
84	83	opreq1i 4029	. . 3 |- ((1 x. (2^4)) / (6 x. (2^4))) = ((2^4) / (6 x. (2^4)))
85	82, 84	eqtr3i 1540	. 2 |- (1 / 6) = ((2^4) / (6 x. (2^4)))
86	44, 72, 85	3brtr4i 2716	1 |- (5 / ((!` 4) x. 4)) < (1 / 6)

Syntax hints:   /\ wa 221   /\ w3a 781   = wceq 992   e. wcel 994   class class class wbr 2692  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  CCcc 5386  RRcr 5387  0cc0 5388  1c1 5389   + caddc 5391   x. cmul 5393   / cdiv 5448   <_ cle 5449  NNcn 5450  NN0cn0 5451   < clt 5640  2c2 6107  3c3 6108  4c4 6109  5c5 6110  6c6 6111  8c8 6113  ^cexp 6763  !cfa 7134

This theorem is referenced by:  sin01bndlem2 7677  cos01bndlem2 7679

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855  df-n 6070  df-2 6116  df-3 6117  df-4 6118  df-5 6119  df-6 6120  df-7 6121  df-8 6122  df-n0 6268  df-z 6304  df-seq1 6673  df-exp 6764  df-fac 7135

Copyright terms: Public domain