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Theorem sinadd 12371
Description: Addition formula for sine. Equation 14 of [Gleason] p. 310. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sinadd  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )

Proof of Theorem sinadd
StepHypRef Expression
1 addcl 8752 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
2 sinval 12329 . . 3  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  +  B ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  ( A  +  B )
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) ) )  /  (
2  x.  _i ) ) )
4 2cn 9749 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
54a1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  2  e.  CC )
6 ax-icn 8729 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
76a1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
8 coscl 12334 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
98adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  A
)  e.  CC )
10 sincl 12333 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( sin `  B )  e.  CC )
1110adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  B
)  e.  CC )
129, 11mulcld 8788 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
13 sincl 12333 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
1413adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  A
)  e.  CC )
15 coscl 12334 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( cos `  B )  e.  CC )
1615adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  B
)  e.  CC )
1714, 16mulcld 8788 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
1812, 17addcld 8787 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) ) )  e.  CC )
195, 7, 18mulassd 8791 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  _i )  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) ) ) ) ) )
207, 12, 17adddid 8792 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) ) )
217, 9, 11mul12d 8954 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) )  =  ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) ) )
2214, 16mulcomd 8789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  =  ( ( cos `  B
)  x.  ( sin `  A ) ) )
2322oveq2d 5773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( cos `  B
)  x.  ( sin `  A ) ) ) )
247, 16, 14mul12d 8954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( cos `  B
)  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
2523, 24eqtrd 2288 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )  =  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
2621, 25oveq12d 5775 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
2720, 26eqtrd 2288 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
2827oveq2d 5773 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
_i  x.  ( (
( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
2919, 28eqtrd 2288 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  _i )  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
30 mulcl 8754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
316, 11, 30sylancr 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
329, 31mulcld 8788 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  e.  CC )
33 mulcl 8754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
346, 14, 33sylancr 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
3516, 34mulcld 8788 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  e.  CC )
3632, 35addcld 8787 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  e.  CC )
37 mulcl 8754 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
384, 36, 37sylancr 647 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  e.  CC )
394, 6mulcli 8775 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  _i )  e.  CC
4039a1i 12 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  _i )  e.  CC )
41 2ne0 9762 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
42 ine0 9148 . . . . . . 7  |-  _i  =/=  0
434, 6, 41, 42mulne0i 9344 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  _i )  =/=  0
4443a1i 12 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  _i )  =/=  0 )
4538, 40, 18, 44divmuld 9491 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B
) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )  <-> 
( ( 2  x.  _i )  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) ) )
4629, 45mpbird 225 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  /  (
2  x.  _i ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )
479, 16mulcld 8788 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
4831, 34mulcld 8788 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  e.  CC )
4947, 48addcld 8787 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  e.  CC )
5049, 36, 36pnncand 9129 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  -  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
51 adddi 8759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( A  +  B ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  B ) ) )
526, 51mp3an1 1269 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  B ) ) )
5352fveq2d 5427 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  =  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  B ) ) ) )
54 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
55 mulcl 8754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
566, 54, 55sylancr 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
57 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
58 mulcl 8754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
596, 57, 58sylancr 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
60 efadd 12302 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  B )
) ) )
6156, 59, 60syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  B )
) ) )
62 efival 12359 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
63 efival 12359 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  B ) )  =  ( ( cos `  B
)  +  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) ) )
6462, 63oveqan12d 5776 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  B
) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  ( ( cos `  B )  +  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) ) ) )
659, 34, 16, 31muladdd 9170 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  ( ( cos `  B )  +  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
6664, 65eqtrd 2288 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  B
) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
6753, 61, 663eqtrd 2292 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
686negcli 9047 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  CC
69 adddi 8759 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) )  =  ( ( -u _i  x.  A )  +  (
-u _i  x.  B
) ) )
7068, 69mp3an1 1269 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) )  =  ( ( -u _i  x.  A )  +  (
-u _i  x.  B
) ) )
7170fveq2d 5427 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) )  =  ( exp `  ( ( -u _i  x.  A )  +  (
-u _i  x.  B
) ) ) )
72 mulcl 8754 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
7368, 54, 72sylancr 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
74 mulcl 8754 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  B )  e.  CC )
7568, 57, 74sylancr 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  B )  e.  CC )
76 efadd 12302 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -u _i  x.  A )  e.  CC  /\  ( -u _i  x.  B )  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( -u _i  x.  A
)  +  ( -u _i  x.  B ) ) )  =  ( ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) ) ) )
7773, 75, 76syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( -u _i  x.  A
)  +  ( -u _i  x.  B ) ) )  =  ( ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) ) ) )
78 efmival 12360 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
79 efmival 12360 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) )  =  ( ( cos `  B
)  -  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) ) )
8078, 79oveqan12d 5776 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  (
( cos `  B
)  -  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) ) ) )
819, 34, 16, 31mulsubd 9171 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  ( ( cos `  B )  -  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
8280, 81eqtrd 2288 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
8371, 77, 823eqtrd 2292 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
8467, 83oveq12d 5775 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  -  (
( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) ) )
85362timesd 9886 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
8650, 84, 853eqtr4d 2298 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
8786oveq1d 5772 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  ( A  +  B )
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  /  (
2  x.  _i ) ) )
8817, 12addcomd 8947 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )
8946, 87, 883eqtr4d 2298 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  ( A  +  B )
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) ) ) )
903, 89eqtrd 2288 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   CCcc 8668   0cc0 8670   _ici 8672    + caddc 8673    x. cmul 8675    - cmin 8970   -ucneg 8971    / cdiv 9356   2c2 9728   expce 12270   sincsin 12272   cosccos 12273
This theorem is referenced by:  tanadd  12374  sinsub  12375  addsin  12377  subsin  12378  sin2t  12384  demoivreALT  12408  sinppi  19784  sinhalfpip  19787
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-er 6593  df-pm 6708  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-rp 10287  df-ico 10593  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-seq 10978  df-exp 11036  df-fac 11220  df-bc 11247  df-hash 11269  df-shft 11492  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-limsup 11875  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-sum 12089  df-ef 12276  df-sin 12278  df-cos 12279
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