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Theorem sinadd 12460
Description: Addition formula for sine. Equation 14 of [Gleason] p. 310. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sinadd  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )

Proof of Theorem sinadd
StepHypRef Expression
1 addcl 8835 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
2 sinval 12418 . . 3  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  +  B ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  ( A  +  B )
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) ) )  /  (
2  x.  _i ) ) )
4 2cn 9832 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
54a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  2  e.  CC )
6 ax-icn 8812 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
76a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
8 coscl 12423 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
98adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  A
)  e.  CC )
10 sincl 12422 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( sin `  B )  e.  CC )
1110adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  B
)  e.  CC )
129, 11mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
13 sincl 12422 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
1413adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  A
)  e.  CC )
15 coscl 12423 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( cos `  B )  e.  CC )
1615adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  B
)  e.  CC )
1714, 16mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
1812, 17addcld 8870 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) ) )  e.  CC )
195, 7, 18mulassd 8874 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  _i )  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) ) ) ) ) )
207, 12, 17adddid 8875 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) ) )
217, 9, 11mul12d 9037 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) )  =  ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) ) )
2214, 16mulcomd 8872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  =  ( ( cos `  B
)  x.  ( sin `  A ) ) )
2322oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( cos `  B
)  x.  ( sin `  A ) ) ) )
247, 16, 14mul12d 9037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( cos `  B
)  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
2523, 24eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )  =  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
2621, 25oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
2720, 26eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
2827oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
_i  x.  ( (
( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
2919, 28eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  _i )  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
30 mulcl 8837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
316, 11, 30sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
329, 31mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  e.  CC )
33 mulcl 8837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
346, 14, 33sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
3516, 34mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  e.  CC )
3632, 35addcld 8870 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  e.  CC )
37 mulcl 8837 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
384, 36, 37sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  e.  CC )
394, 6mulcli 8858 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  _i )  e.  CC
4039a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  _i )  e.  CC )
41 2ne0 9845 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
42 ine0 9231 . . . . . . 7  |-  _i  =/=  0
434, 6, 41, 42mulne0i 9427 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  _i )  =/=  0
4443a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  _i )  =/=  0 )
4538, 40, 18, 44divmuld 9574 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B
) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) )  <-> 
( ( 2  x.  _i )  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) ) )
4629, 45mpbird 223 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  /  (
2  x.  _i ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )
479, 16mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
4831, 34mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  e.  CC )
4947, 48addcld 8870 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  e.  CC )
5049, 36, 36pnncand 9212 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  -  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
51 adddi 8842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( A  +  B ) )  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  B ) ) )
526, 51mp3an1 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( _i  x.  A )  +  ( _i  x.  B ) ) )
5352fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  =  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  B ) ) ) )
54 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
55 mulcl 8837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
566, 54, 55sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
57 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
58 mulcl 8837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
596, 57, 58sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
60 efadd 12391 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _i  x.  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  B )
) ) )
6156, 59, 60syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  A
)  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  B )
) ) )
62 efival 12448 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
63 efival 12448 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  B ) )  =  ( ( cos `  B
)  +  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) ) )
6462, 63oveqan12d 5893 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  B
) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  ( ( cos `  B )  +  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) ) ) )
659, 34, 16, 31muladdd 9253 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  ( ( cos `  B )  +  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
6664, 65eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  B
) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) ) )
6753, 61, 663eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
686negcli 9130 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  CC
69 adddi 8842 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) )  =  ( ( -u _i  x.  A )  +  (
-u _i  x.  B
) ) )
7068, 69mp3an1 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) )  =  ( ( -u _i  x.  A )  +  (
-u _i  x.  B
) ) )
7170fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) )  =  ( exp `  ( ( -u _i  x.  A )  +  (
-u _i  x.  B
) ) ) )
72 mulcl 8837 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
7368, 54, 72sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
74 mulcl 8837 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  B )  e.  CC )
7568, 57, 74sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  B )  e.  CC )
76 efadd 12391 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -u _i  x.  A )  e.  CC  /\  ( -u _i  x.  B )  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( -u _i  x.  A
)  +  ( -u _i  x.  B ) ) )  =  ( ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) ) ) )
7773, 75, 76syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( -u _i  x.  A
)  +  ( -u _i  x.  B ) ) )  =  ( ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) ) ) )
78 efmival 12449 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
79 efmival 12449 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) )  =  ( ( cos `  B
)  -  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) ) )
8078, 79oveqan12d 5893 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A )  -  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  (
( cos `  B
)  -  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) ) ) )
819, 34, 16, 31mulsubd 9254 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  x.  ( ( cos `  B )  -  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
8280, 81eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  x.  ( exp `  ( -u _i  x.  B ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
8371, 77, 823eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
8467, 83oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  -  (
( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  B
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  -  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) ) )
85362timesd 9970 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  +  ( ( ( cos `  A )  x.  ( _i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
8650, 84, 853eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( exp `  (
_i  x.  ( A  +  B ) ) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  B
) ) )  +  ( ( cos `  B
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) ) )
8786oveq1d 5889 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  ( A  +  B )
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  B ) ) )  +  ( ( cos `  B )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )  /  (
2  x.  _i ) ) )
8817, 12addcomd 9030 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) ) ) )
8946, 87, 883eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( exp `  ( _i  x.  ( A  +  B )
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  ( A  +  B
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( ( sin `  A )  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  B ) ) ) )
903, 89eqtrd 2328 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( sin `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   2c2 9811   expce 12359   sincsin 12361   cosccos 12362
This theorem is referenced by:  tanadd  12463  sinsub  12464  addsin  12466  subsin  12467  sin2t  12473  demoivreALT  12497  sinppi  19873  sinhalfpip  19876
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368
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