Theorem sinaddt 7431

Description: Addition formula for sine. Equation 14 of [Gleason] p. 310. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
sinaddt	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (sin` (A + B)) = (((sin` A) x. (cos` B)) + ((cos` A) x. (sin` B))))

Proof of Theorem sinaddt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3965	. . . 4 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A + B) = (if(A e. CC, A, 0) + B))
2	1	fveq2d 3725	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (sin` (A + B)) = (sin` (if(A e. CC, A, 0) + B)))
3		fveq2 3721	. . . . 5 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (sin` A) = (sin` if(A e. CC, A, 0)))
4	3	opreq1d 3972	. . . 4 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((sin` A) x. (cos` B)) = ((sin` if(A e. CC, A, 0)) x. (cos` B)))
5		fveq2 3721	. . . . 5 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (cos` A) = (cos` if(A e. CC, A, 0)))
6	5	opreq1d 3972	. . . 4 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((cos` A) x. (sin` B)) = ((cos` if(A e. CC, A, 0)) x. (sin` B)))
7	4, 6	opreq12d 3975	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (((sin` A) x. (cos` B)) + ((cos` A) x. (sin` B))) = (((sin` if(A e. CC, A, 0)) x. (cos` B)) + ((cos` if(A e. CC, A, 0)) x. (sin` B))))
8	2, 7	eqeq12d 1488	. 2 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((sin` (A + B)) = (((sin` A) x. (cos` B)) + ((cos` A) x. (sin` B))) <-> (sin` (if(A e. CC, A, 0) + B)) = (((sin` if(A e. CC, A, 0)) x. (cos` B)) + ((cos` if(A e. CC, A, 0)) x. (sin` B)))))
9		opreq2 3966	. . . 4 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (if(A e. CC, A, 0) + B) = (if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)))
10	9	fveq2d 3725	. . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (sin` (if(A e. CC, A, 0) + B)) = (sin` (if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0))))
11		fveq2 3721	. . . . 5 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (cos` B) = (cos` if(B e. CC, B, 0)))
12	11	opreq2d 3973	. . . 4 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((sin` if(A e. CC, A, 0)) x. (cos` B)) = ((sin` if(A e. CC, A, 0)) x. (cos` if(B e. CC, B, 0))))
13		fveq2 3721	. . . . 5 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (sin` B) = (sin` if(B e. CC, B, 0)))
14	13	opreq2d 3973	. . . 4 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((cos` if(A e. CC, A, 0)) x. (sin` B)) = ((cos` if(A e. CC, A, 0)) x. (sin` if(B e. CC, B, 0))))
15	12, 14	opreq12d 3975	. . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (((sin` if(A e. CC, A, 0)) x. (cos` B)) + ((cos` if(A e. CC, A, 0)) x. (sin` B))) = (((sin` if(A e. CC, A, 0)) x. (cos` if(B e. CC, B, 0))) + ((cos` if(A e. CC, A, 0)) x. (sin` if(B e. CC, B, 0)))))
16	10, 15	eqeq12d 1488	. 2 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((sin` (if(A e. CC, A, 0) + B)) = (((sin` if(A e. CC, A, 0)) x. (cos` B)) + ((cos` if(A e. CC, A, 0)) x. (sin` B))) <-> (sin` (if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0))) = (((sin` if(A e. CC, A, 0)) x. (cos` if(B e. CC, B, 0))) + ((cos` if(A e. CC, A, 0)) x. (sin` if(B e. CC, B, 0))))))
17		0cn 5315	. . . 4 |- 0 e. CC
18	17	elimel 2392	. . 3 |- if(A e. CC, A, 0) e. CC
19	17	elimel 2392	. . 3 |- if(B e. CC, B, 0) e. CC
20	18, 19	sinadd 7429	. 2 |- (sin` (if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0))) = (((sin` if(A e. CC, A, 0)) x. (cos` if(B e. CC, B, 0))) + ((cos` if(A e. CC, A, 0)) x. (sin` if(B e. CC, B, 0))))
21	8, 16, 20	dedth2h 2385	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (sin` (A + B)) = (((sin` A) x. (cos` B)) + ((cos` A) x. (sin` B))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  ifcif 2359  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  CCcc 5219  0cc0 5221   + caddc 5224   x. cmul 5226  sincsin 7273  cosccos 7274

This theorem is referenced by:  sinsubt 7433  addsint 7435  subsint 7436  sin2tt 7440  demoivre 7462  sinper 8673  sinhalfpip 8680

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-sup 4561  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686  df-n 5887  df-2 5931  df-3 5932  df-4 5933  df-n0 6061  df-z 6097  df-fl 6186  df-seq1 6263  df-shft 6296  df-uz 6368  df-fz 6418  df-seqz 6483  df-seq0 6484  df-exp 6519  df-sqr 6621  df-re 6703  df-im 6704  df-cj 6705  df-abs 6706  df-fac 6898  df-bc 6923  df-clim 6943  df-sum 6948  df-ef 7276  df-sin 7278  df-cos 7279

Copyright terms: Public domain