MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinbnd Unicode version

Theorem sinbnd 12454
Description: The sine of a real number lies between -1 and 1. Equation 18 of [Gleason] p. 311. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
sinbnd  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  <_ 
1 ) )

Proof of Theorem sinbnd
StepHypRef Expression
1 recoscl 12415 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
21sqge0d 11266 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) )
3 resincl 12414 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
43resqcld 11265 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
51resqcld 11265 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( cos `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
64, 5addge01d 9355 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( ( cos `  A ) ^
2 )  <->  ( ( sin `  A ) ^
2 )  <_  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) ) ) )
72, 6mpbid 203 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  <_  ( ( ( sin `  A ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A
) ^ 2 ) ) )
8 recn 8822 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
9 sincossq 12450 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
108, 9syl 17 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  1 )
11 sq1 11192 . . . . 5  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
1210, 11syl6eqr 2334 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  A ) ^ 2 ) )  =  ( 1 ^ 2 ) )
137, 12breqtrd 4048 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 ) )
14 1re 8832 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
15 0le1 9292 . . . . . 6  |-  0  <_  1
16 lenegsq 11798 . . . . . 6  |-  ( ( ( sin `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  ->  (
( ( sin `  A
)  <_  1  /\  -u ( sin `  A
)  <_  1 )  <-> 
( ( sin `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 ) ) )
1714, 15, 16mp3an23 1274 . . . . 5  |-  ( ( sin `  A )  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
)  <_  1  /\  -u ( sin `  A
)  <_  1 )  <-> 
( ( sin `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 ) ) )
18 lenegcon1 9273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sin `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( -u ( sin `  A )  <_  1  <->  -u 1  <_  ( sin `  A ) ) )
1914, 18mpan2 655 . . . . . 6  |-  ( ( sin `  A )  e.  RR  ->  ( -u ( sin `  A
)  <_  1  <->  -u 1  <_ 
( sin `  A
) ) )
2019anbi2d 687 . . . . 5  |-  ( ( sin `  A )  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
)  <_  1  /\  -u ( sin `  A
)  <_  1 )  <-> 
( ( sin `  A
)  <_  1  /\  -u 1  <_  ( sin `  A ) ) ) )
2117, 20bitr3d 248 . . . 4  |-  ( ( sin `  A )  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 )  <->  ( ( sin `  A )  <_ 
1  /\  -u 1  <_ 
( sin `  A
) ) ) )
223, 21syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( sin `  A
) ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 )  <->  ( ( sin `  A )  <_ 
1  /\  -u 1  <_ 
( sin `  A
) ) ) )
2313, 22mpbid 203 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  A
)  <_  1  /\  -u 1  <_  ( sin `  A ) ) )
2423ancomd 440 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( sin `  A )  /\  ( sin `  A )  <_ 
1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1628    e. wcel 1688   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   CCcc 8730   RRcr 8731   0cc0 8732   1c1 8733    + caddc 8735    <_ cle 8863   -ucneg 9033   2c2 9790   ^cexp 11098   sincsin 12339   cosccos 12340
This theorem is referenced by:  sinbnd2  12456  sinltx  12463  wallispilem1  27213
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6655  df-pm 6770  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-rp 10350  df-ico 10656  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-seq 11041  df-exp 11099  df-fac 11283  df-bc 11310  df-hash 11332  df-shft 11556  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-limsup 11939  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-ef 12343  df-sin 12345  df-cos 12346
  Copyright terms: Public domain W3C validator