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Theorem sinccvglem 24020
Description:  ( ( sin `  x
)  /  x )  ~~>  1 as (real)  x  ~~>  0. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sinccvg.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR 
\  { 0 } ) )
sinccvg.2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
sinccvg.3  |-  G  =  ( x  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  x )  /  x ) )
sinccvg.4  |-  H  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  (
( x ^ 2 )  /  3 ) ) )
sinccvg.5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
sinccvg.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  1
)
Assertion
Ref Expression
sinccvglem  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  ~~>  1 )
Distinct variable groups:    x, k, F    k, H    k, M    ph, k    k, G
Allowed substitution hints:    ph( x)    G( x)    H( x)    M( x)

Proof of Theorem sinccvglem
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . 2  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 sinccvg.5 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
32nnzd 10132 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 sinccvg.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
5 sinccvg.4 . . . . . 6  |-  H  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  (
( x ^ 2 )  /  3 ) ) )
65funmpt2 5307 . . . . 5  |-  Fun  H
7 sinccvg.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( RR 
\  { 0 } ) )
8 nnex 9768 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
9 fex 5765 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( RR 
\  { 0 } )  /\  NN  e.  _V )  ->  F  e. 
_V )
107, 8, 9sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
11 cofunexg 5755 . . . . 5  |-  ( ( Fun  H  /\  F  e.  _V )  ->  ( H  o.  F )  e.  _V )
126, 10, 11sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  e.  _V )
137adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  F : NN
--> ( RR  \  {
0 } ) )
14 nnuz 10279 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1514uztrn2 10261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN )
162, 15sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  NN )
17 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( RR 
\  { 0 } )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  ( RR  \  {
0 } ) )
1813, 16, 17syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  ( RR  \  { 0 } ) )
19 eldifsn 3762 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  k )  e.  ( RR  \  { 0 } )  <-> 
( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `  k
)  =/=  0 ) )
2018, 19sylib 188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `
 k )  =/=  0 ) )
2120simpld 445 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
2221recnd 8877 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
23 ax-1cn 8811 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
24 sqcl 11182 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
25 3cn 9834 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
26 3ne0 9847 . . . . . . . 8  |-  3  =/=  0
27 divcl 9446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  e.  CC )
2825, 26, 27mp3an23 1269 . . . . . . 7  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  e.  CC )
2924, 28syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  e.  CC )
30 subcl 9067 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( x ^
2 )  /  3
)  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( ( x ^
2 )  /  3
) )  e.  CC )
3123, 29, 30sylancr 644 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  -  ( ( x ^ 2 )  /  3 ) )  e.  CC )
325, 31fmpti 5699 . . . 4  |-  H : CC
--> CC
33 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
3433cnfldtopon 18308 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
3534a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
3623a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
3735, 35, 36cnmptc 17372 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  1 )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
3833sqcn 18394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 2 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
3938a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 2 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4033divccn 18393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  -> 
( y  e.  CC  |->  ( y  /  3
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4125, 26, 40mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  |->  ( y  /  3 ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
4241a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( y  e.  CC  |->  ( y  /  3
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
43 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( x ^
2 )  ->  (
y  /  3 )  =  ( ( x ^ 2 )  / 
3 ) )
4435, 39, 35, 42, 43cnmpt11 17373 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( ( x ^
2 )  /  3
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4533subcn 18386 . . . . . . . . . 10  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
4645a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
4735, 37, 44, 46cnmpt12f 17376 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  (
( x ^ 2 )  /  3 ) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4847trud 1314 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  ( ( x ^ 2 )  / 
3 ) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
495, 48eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  H  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
5033cncfcn1 18430 . . . . . 6  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
5149, 50eleqtrri 2369 . . . . 5  |-  H  e.  ( CC -cn-> CC )
52 cncfi 18414 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  ( CC
-cn-> CC )  /\  0  e.  CC  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  ( ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  z  ->  ( abs `  (
( H `  w
)  -  ( H `
 0 ) ) )  <  y ) )
5351, 52mp3an1 1264 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  ( ( abs `  ( w  -  0 ) )  <  z  ->  ( abs `  (
( H `  w
)  -  ( H `
 0 ) ) )  <  y ) )
54 fvco3 5612 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( RR 
\  { 0 } )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( H  o.  F
) `  k )  =  ( H `  ( F `  k ) ) )
557, 54sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( H  o.  F ) `
 k )  =  ( H `  ( F `  k )
) )
5616, 55syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H  o.  F ) `  k )  =  ( H `  ( F `
 k ) ) )
571, 4, 12, 3, 22, 32, 53, 56climcn1lem 12092 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  ~~>  ( H ` 
0 ) )
58 0cn 8847 . . . 4  |-  0  e.  CC
59 sq0i 11212 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
x ^ 2 )  =  0 )
6059oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  =  ( 0  / 
3 ) )
6125, 26div0i 9510 . . . . . . . 8  |-  ( 0  /  3 )  =  0
6260, 61syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  =  0 )
6362oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
1  -  ( ( x ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( 1  -  0 ) )
6423subid1i 9134 . . . . . 6  |-  ( 1  -  0 )  =  1
6563, 64syl6eq 2344 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
1  -  ( ( x ^ 2 )  /  3 ) )  =  1 )
66 1ex 8849 . . . . 5  |-  1  e.  _V
6765, 5, 66fvmpt 5618 . . . 4  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( H `  0 )  =  1 )
6858, 67ax-mp 8 . . 3  |-  ( H `
 0 )  =  1
6957, 68syl6breq 4078 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  o.  F
)  ~~>  1 )
70 sinccvg.3 . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( RR  \  { 0 } )  |->  ( ( sin `  x )  /  x ) )
7170funmpt2 5307 . . 3  |-  Fun  G
72 cofunexg 5755 . . 3  |-  ( ( Fun  G  /\  F  e.  _V )  ->  ( G  o.  F )  e.  _V )
7371, 10, 72sylancr 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  _V )
74 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( ( F `
 k ) ^
2 ) )
7574oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
( x ^ 2 )  /  3 )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )
7675oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
1  -  ( ( x ^ 2 )  /  3 ) )  =  ( 1  -  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  3
) ) )
77 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( 1  -  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )  e. 
_V
7876, 5, 77fvmpt 5618 . . . . 5  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( H `  ( F `  k ) )  =  ( 1  -  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  3 ) ) )
7922, 78syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  ( F `  k
) )  =  ( 1  -  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 ) ) )
8056, 79eqtrd 2328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H  o.  F ) `  k )  =  ( 1  -  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 ) ) )
81 1re 8853 . . . 4  |-  1  e.  RR
8221resqcld 11287 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR )
83 3nn 9894 . . . . 5  |-  3  e.  NN
84 nndivre 9797 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )
8582, 83, 84sylancl 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( F `  k
) ^ 2 )  /  3 )  e.  RR )
86 resubcl 9127 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  3
) )  e.  RR )
8781, 85, 86sylancr 644 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  -  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )  e.  RR )
8880, 87eqeltrd 2370 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H  o.  F ) `  k )  e.  RR )
89 fvco3 5612 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( RR 
\  { 0 } )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G  o.  F
) `  k )  =  ( G `  ( F `  k ) ) )
907, 89sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G  o.  F ) `
 k )  =  ( G `  ( F `  k )
) )
9116, 90syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  =  ( G `  ( F `
 k ) ) )
92 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  ( F `  k )
) )
93 id 19 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  x  =  ( F `  k ) )
9492, 93oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
( sin `  x
)  /  x )  =  ( ( sin `  ( F `  k
) )  /  ( F `  k )
) )
95 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( ( sin `  ( F `
 k ) )  /  ( F `  k ) )  e. 
_V
9694, 70, 95fvmpt 5618 . . . . 5  |-  ( ( F `  k )  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  ( G `  ( F `  k ) )  =  ( ( sin `  ( F `
 k ) )  /  ( F `  k ) ) )
9718, 96syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  ( F `  k
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
9891, 97eqtrd 2328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
9921resincld 12439 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  ( F `  k
) )  e.  RR )
10020simprd 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =/=  0
)
10199, 21, 100redivcld 9604 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  ( F `  k ) )  / 
( F `  k
) )  e.  RR )
10298, 101eqeltrd 2370 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  RR )
10323a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  e.  CC )
10485recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( F `  k
) ^ 2 )  /  3 )  e.  CC )
10522abscld 11934 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR )
106105recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  CC )
107103, 104, 106subdird 9252 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
1  -  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( 1  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) )  -  ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) ) )
108106mulid2d 8869 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
109 df-3 9821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =  ( 2  +  1 )
110109oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) ) ^ 3 )  =  ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ ( 2  +  1 ) )
111 2nn0 9998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
112 expp1 11126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  ( F `  k )
) ^ ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( abs `  ( F `
 k ) ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
113106, 111, 112sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) ) ^
( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
114 absresq 11803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k )  e.  RR  ->  (
( abs `  ( F `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 k ) ^
2 ) )
11521, 114syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) ) ^
2 )  =  ( ( F `  k
) ^ 2 ) )
116115oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( abs `  ( F `  k )
) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
117113, 116eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) ) ^
( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
118110, 117syl5eq 2340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) ) ^
3 )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
119118oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( abs `  ( F `  k )
) ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  /  3
) )
12082recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  CC )
12125a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  3  e.  CC )
12226a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  3  =/=  0 )
123120, 106, 121, 122div23d 9589 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) ^ 2 )  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  / 
3 )  =  ( ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  3
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
124119, 123eqtr2d 2329 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  3 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ 3 )  /  3 ) )
125108, 124oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
1  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  -  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 )  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  -  ( ( ( abs `  ( F `
 k ) ) ^ 3 )  / 
3 ) ) )
126107, 125eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
1  -  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ 3 )  /  3 ) ) )
12722, 100absrpcld 11946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR+ )
128127rpgt0d 10409 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  <  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
129 sinccvg.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  1
)
130 ltle 8926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <  1  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  1 ) )
131105, 81, 130sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  <  1  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  1
) )
132129, 131mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  1
)
133 0xr 8894 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
134 elioc2 10729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  /\  0  < 
( abs `  ( F `  k )
)  /\  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  1
) ) )
135133, 81, 134mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR  /\  0  < 
( abs `  ( F `  k )
)  /\  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  1
) )
136105, 128, 132, 135syl3anbrc 1136 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  ( 0 (,] 1 ) )
137 sin01bnd 12481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /\  ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  <  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
138136, 137syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( abs `  ( F `  k )
)  -  ( ( ( abs `  ( F `  k )
) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /\  ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  <  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
139138simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  -  ( ( ( abs `  ( F `  k
) ) ^ 3 )  /  3 ) )  <  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
140126, 139eqbrtrd 4059 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
1  -  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
141105resincld 12439 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  e.  RR )
14287, 141, 127ltmuldivd 10449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( 1  -  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  < 
( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  <-> 
( 1  -  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  3 ) )  <  ( ( sin `  ( abs `  ( F `  k
) ) )  / 
( abs `  ( F `  k )
) ) ) )
143140, 142mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  -  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )  < 
( ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
144 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k )  ->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( sin `  ( F `
 k ) ) )
145 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
146144, 145oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k )  ->  (
( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
147146a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
)  ->  ( ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  /  ( abs `  ( F `  k ) ) )  =  ( ( sin `  ( F `  k
) )  /  ( F `  k )
) ) )
148 sinneg 12442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( sin `  -u ( F `  k ) )  = 
-u ( sin `  ( F `  k )
) )
14922, 148syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  -u ( F `  k
) )  =  -u ( sin `  ( F `
 k ) ) )
150149oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  -u ( F `  k ) )  /  -u ( F `  k
) )  =  (
-u ( sin `  ( F `  k )
)  /  -u ( F `  k )
) )
15199recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  ( F `  k
) )  e.  CC )
152151, 22, 100div2negd 9567 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( -u ( sin `  ( F `  k ) )  /  -u ( F `  k
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
153150, 152eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  -u ( F `  k ) )  /  -u ( F `  k
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
154 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  -u ( F `  k )  ->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( sin `  -u ( F `  k )
) )
155 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  -u ( F `  k )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  = 
-u ( F `  k ) )
156154, 155oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  -u ( F `  k )  ->  (
( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( sin `  -u ( F `  k )
)  /  -u ( F `  k )
) )
157156eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  =  -u ( F `  k )  ->  (
( ( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) )  <-> 
( ( sin `  -u ( F `  k )
)  /  -u ( F `  k )
)  =  ( ( sin `  ( F `
 k ) )  /  ( F `  k ) ) ) )
158153, 157syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  = 
-u ( F `  k )  ->  (
( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) ) )
15921absord 11914 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
)  \/  ( abs `  ( F `  k
) )  =  -u ( F `  k ) ) )
160147, 158, 159mpjaod 370 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  /  ( abs `  ( F `  k ) ) )  =  ( ( sin `  ( F `  k
) )  /  ( F `  k )
) )
161143, 160breqtrd 4063 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  -  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )  < 
( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
16287, 101, 161ltled 8983 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  -  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  / 
3 ) )  <_ 
( ( sin `  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) ) )
163162, 80, 983brtr4d 4069 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H  o.  F ) `  k )  <_  (
( G  o.  F
) `  k )
)
16481a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  e.  RR )
165138simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  ( abs `  ( F `  k ) ) )
166106mulid1d 8868 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  x.  1 )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
167165, 166breqtrrd 4065 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  (
( abs `  ( F `  k )
)  x.  1 ) )
168141, 164, 127ltdivmuld 10453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( sin `  ( abs `  ( F `  k ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  1  <->  ( sin `  ( abs `  ( F `  k
) ) )  < 
( ( abs `  ( F `  k )
)  x.  1 ) ) )
169167, 168mpbird 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  ( abs `  ( F `  k )
) )  /  ( abs `  ( F `  k ) ) )  <  1 )
170160, 169eqbrtrrd 4061 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  ( F `  k ) )  / 
( F `  k
) )  <  1
)
171101, 164, 170ltled 8983 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( sin `  ( F `  k ) )  / 
( F `  k
) )  <_  1
)
17298, 171eqbrtrd 4059 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  <_  1
)
1731, 3, 69, 73, 88, 102, 163, 172climsqz 12130 1  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  ~~>  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    o. ccom 4709   Fun wfun 5265   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   NN0cn0 9981   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   (,]cioc 10673   ^cexp 11120   abscabs 11735    ~~> cli 11974   sincsin 12361   TopOpenctopn 13342  ℂfldccnfld 16393  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970    tX ctx 17271   -cn->ccncf 18396
This theorem is referenced by:  sinccvg  24021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398
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