Theorem sincn 8669

Description: Sine is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
sincn	|- sin e. (CC-cn->CC)

Proof of Theorem sincn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . 3 |- {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (i x. x))} = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (i x. x))}
2		eqid 1475	. . 3 |- {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (-ui x. x))} = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (-ui x. x))}
3		eqid 1475	. . 3 |- {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (x / (2 x. i)))} = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (x / (2 x. i)))}
4		eqid 1475	. . 3 |- {<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((exp o. {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (i x. x))})` w) - ((exp o. {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (-ui x. x))})` w)))} = {<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((exp o. {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (i x. x))})` w) - ((exp o. {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (-ui x. x))})` w)))}
5	1, 2, 3, 4	sinco 8667	. 2 |- sin = ({<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (x / (2 x. i)))} o. {<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((exp o. {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (i x. x))})` w) - ((exp o. {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (-ui x. x))})` w)))})
6		2cn 5980	. . . 4 |- 2 e. CC
7		axicn 5270	. . . 4 |- i e. CC
8	6, 7	mulcl 5321	. . 3 |- (2 x. i) e. CC
9		2ne0 5990	. . . 4 |- 2 =/= 0
10		ine0 5434	. . . 4 |- i =/= 0
11	6, 7, 9, 10	muln0 5699	. . 3 |- (2 x. i) =/= 0
12		eqid 1475	. . 3 |- (abs o. - ) = (abs o. - )
13		eqid 1475	. . 3 |- {<.<.p, q>., r>. | ((p e. (CC X. CC) /\ q e. (CC X. CC)) /\ r = sup({((1st` p)(abs o. - )(1st` q)), ((2nd` p)(abs o. - )(2nd` q))}, RR, < ))} = {<.<.p, q>., r>. | ((p e. (CC X. CC) /\ q e. (CC X. CC)) /\ r = sup({((1st` p)(abs o. - )(1st` q)), ((2nd` p)(abs o. - )(2nd` q))}, RR, < ))}
14		eqid 1475	. . . 4 |- (Open` (abs o. - )) = (Open` (abs o. - ))
15		eqid 1475	. . . 4 |- (Open` {<.<.p, q>., r>. | ((p e. (CC X. CC) /\ q e. (CC X. CC)) /\ r = sup({((1st` p)(abs o. - )(1st` q)), ((2nd` p)(abs o. - )(2nd` q))}, RR, < ))}) = (Open` {<.<.p, q>., r>. | ((p e. (CC X. CC) /\ q e. (CC X. CC)) /\ r = sup({((1st` p)(abs o. - )(1st` q)), ((2nd` p)(abs o. - )(2nd` q))}, RR, < ))})
16	12, 13, 14, 15	subcn 7987	. . 3 |- - e. ((Open` {<.<.p, q>., r>. | ((p e. (CC X. CC) /\ q e. (CC X. CC)) /\ r = sup({((1st` p)(abs o. - )(1st` q)), ((2nd` p)(abs o. - )(2nd` q))}, RR, < ))}) Cn (Open` (abs o. - )))
17	1, 2, 3, 4, 8, 11, 12, 13, 16	sincnlem 8666	. 2 |- ({<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (x / (2 x. i)))} o. {<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((exp o. {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (i x. x))})` w) - ((exp o. {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (-ui x. x))})` w)))}) e. (CC-cn->CC)
18	5, 17	eqeltr 1544	1 |- sin e. (CC-cn->CC)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {cpr 2410  {copab 2666   X. cxp 3168   o. ccom 3174  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  {copab2 3964  1stc1st 4077  2ndc2nd 4078  supcsup 4573  CCcc 5232  RRcr 5233  ici 5236   x. cmul 5239   - cmin 5292  -ucneg 5293   / cdiv 5294   < clt 5486  2c2 5961  abscabs 6750  -cn->ccncf 7262  expce 7293  sincsin 7295  Opencopn 7792

This theorem is referenced by:  pilem1 8671

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-rp 6281  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-bc 6957  df-clim 6975  df-sum 6980  df-cncf 7263  df-ef 7298  df-sin 7300  df-top 7592  df-cn 7754  df-cnp 7755  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796  df-lm 7922

Copyright terms: Public domain