HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem sinperlem1 8640
Description: Lemma for sin2kpi 8642 and cos2kpi 8643.
Assertion
Ref Expression
sinperlem1 |- (K e. NN0 -> ((cos` (K x. (2 x. pi))) = 1 /\ (sin` (K x. (2 x. pi))) = 0))
Proof of Theorem sinperlem1
StepHypRef Expression
1 2re 5936 . . . . . . 7 |- 2 e. RR
2 pire 8631 . . . . . . 7 |- pi e. RR
31, 2remulcl 5318 . . . . . 6 |- (2 x. pi) e. RR
43recn 5297 . . . . 5 |- (2 x. pi) e. CC
5 demoivre 7443 . . . . 5 |- (((2 x. pi) e. CC /\ K e. NN0) -> (((cos` (2 x. pi)) + (i x. (sin` (2 x. pi))))^K) = ((cos` (K x. (2 x. pi))) + (i x. (sin` (K x. (2 x. pi))))))
64, 5mpan 694 . . . 4 |- (K e. NN0 -> (((cos` (2 x. pi)) + (i x. (sin` (2 x. pi))))^K) = ((cos` (K x. (2 x. pi))) + (i x. (sin` (K x. (2 x. pi))))))
7 1expt 6529 . . . . 5 |- (K e. NN0 -> (1^K) = 1)
8 cos2pi 8639 . . . . . . . 8 |- (cos` (2 x. pi)) = 1
9 sin2pi 8638 . . . . . . . . . 10 |- (sin` (2 x. pi)) = 0
109opreq2i 3967 . . . . . . . . 9 |- (i x. (sin` (2 x. pi))) = (i x. 0)
11 axicn 5253 . . . . . . . . . 10 |- i e. CC
1211mul01 5414 . . . . . . . . 9 |- (i x. 0) = 0
1310, 12eqtr 1493 . . . . . . . 8 |- (i x. (sin` (2 x. pi))) = 0
148, 13opreq12i 3968 . . . . . . 7 |- ((cos` (2 x. pi)) + (i x. (sin` (2 x. pi)))) = (1 + 0)
15 ax1cn 5252 . . . . . . . 8 |- 1 e. CC
1615addid1 5313 . . . . . . 7 |- (1 + 0) = 1
1714, 16eqtr 1493 . . . . . 6 |- ((cos` (2 x. pi)) + (i x. (sin` (2 x. pi)))) = 1
1817opreq1i 3966 . . . . 5 |- (((cos` (2 x. pi)) + (i x. (sin` (2 x. pi))))^K) = (1^K)
197, 18syl5eq 1517 . . . 4 |- (K e. NN0 -> (((cos` (2 x. pi)) + (i x. (sin` (2 x. pi))))^K) = 1)
206, 19eqtr3d 1507 . . 3 |- (K e. NN0 -> ((cos` (K x. (2 x. pi))) + (i x. (sin` (K x. (2 x. pi))))) = 1)
2112opreq2i 3967 . . . . 5 |- (1 + (i x. 0)) = (1 + 0)
2221, 16eqtr 1493 . . . 4 |- (1 + (i x. 0)) = 1
2322a1i 8 . . 3 |- (K e. NN0 -> (1 + (i x. 0)) = 1)
2420, 23eqtr4d 1508 . 2 |- (K e. NN0 -> ((cos` (K x. (2 x. pi))) + (i x. (sin` (K x. (2 x. pi))))) = (1 + (i x. 0)))
25 1re 5418 . . . . 5 |- 1 e. RR
26 0re 5423 . . . . 5 |- 0 e. RR
2725, 26pm3.2i 285 . . . 4 |- (1 e. RR /\ 0 e. RR)
28 crut 6683 . . . 4 |- ((((cos` (K x. (2 x. pi))) e. RR /\ (sin` (K x. (2 x. pi))) e. RR) /\ (1 e. RR /\ 0 e. RR)) -> (((cos` (K x. (2 x. pi))) + (i x. (sin` (K x. (2 x. pi))))) = (1 + (i x. 0)) <-> ((cos` (K x. (2 x. pi))) = 1 /\ (sin` (K x. (2 x. pi))) = 0)))
2927, 28mpan2 695 . . 3 |- (((cos` (K x. (2 x. pi))) e. RR /\ (sin` (K x. (2 x. pi))) e. RR) -> (((cos` (K x. (2 x. pi))) + (i x. (sin` (K x. (2 x. pi))))) = (1 + (i x. 0)) <-> ((cos` (K x. (2 x. pi))) = 1 /\ (sin` (K x. (2 x. pi))) = 0)))
30 nn0ret 6065 . . . . 5 |- (K e. NN0 -> K e. RR)
31 axmulrcl 5257 . . . . . 6 |- ((K e. RR /\ (2 x. pi) e. RR) -> (K x. (2 x. pi)) e. RR)
323, 31mpan2 695 . . . . 5 |- (K e. RR -> (K x. (2 x. pi)) e. RR)
3330, 32syl 10 . . . 4 |- (K e. NN0 -> (K x. (2 x. pi)) e. RR)
34 recosclt 7398 . . . 4 |- ((K x. (2 x. pi)) e. RR -> (cos` (K x. (2 x. pi))) e. RR)
3533, 34syl 10 . . 3 |- (K e. NN0 -> (cos` (K x. (2 x. pi))) e. RR)
36 resinclt 7397 . . . 4 |- ((K x. (2 x. pi)) e. RR -> (sin` (K x. (2 x. pi))) e. RR)
3733, 36syl 10 . . 3 |- (K e. NN0 -> (sin` (K x. (2 x. pi))) e. RR)
3829, 35, 37sylanc 471 . 2 |- (K e. NN0 -> (((cos` (K x. (2 x. pi))) + (i x. (sin` (K x. (2 x. pi))))) = (1 + (i x. 0)) <-> ((cos` (K x. (2 x. pi))) = 1 /\ (sin` (K x. (2 x. pi))) = 0)))
3924, 38mpbid 195 1 |- (K e. NN0 -> ((cos` (K x. (2 x. pi))) = 1 /\ (sin` (K x. (2 x. pi))) = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216  0cc0 5217  1c1 5218  ici 5219   + caddc 5220   x. cmul 5222  NN0cn0 5280  2c2 5918  ^cexp 6513  sincsin 7254  cosccos 7255  picpi 7256
This theorem is referenced by:  sinperlem2 8641
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-reg 4576  ax-inf2 4608  ax-ac 4727
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-iin 2565  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-map 4317  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-r1 4626  df-rank 4627  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-3 5928  df-4 5929  df-5 5930  df-6 5931  df-7 5932  df-8 5933  df-9 5934  df-n0 6057  df-z 6093  df-fl 6182  df-q 6206  df-rp 6231  df-seq1 6258  df-shft 6291  df-ioo 6311  df-ioc 6312  df-ico 6313  df-icc 6314  df-uz 6363  df-fz 6413  df-seqz 6478  df-seq0 6479  df-exp 6514  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700  df-fac 6884  df-bc 6909  df-clim 6928  df-sum 6933  df-cncf 7215  df-ef 7257  df-sin 7259  df-cos 7260  df-pi 7261  df-top 7552  df-cn 7714  df-cnp 7715  df-met 7753  df-bl 7755  df-opn 7756  df-lm 7884
Copyright terms: Public domain